Python数学小实验（1）——自然对数e的理解

Python数学小实验（1）——自然对数e的理解

先来输出一下自然对数e：

>>>from math import e
>>>print (e)
2.718281828459045

一个神奇的数字

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.logspace(0,4,num=100,dtype=float)
y = (1+1/x)**x
plt.plot(x,y)
plt.show()

复利极限的理解

>>>k_1=1*(1+1)   #假设我有1块，年利率是100%，一年定期后，我有
>>>k_2=1*(1+1/2)**2   #存两个半年
>>>k_365=1*(1+1/365)**365   #存365天
>>>print(k_1)
2
>>print(k_2)
2.25
>>print(k_365)
2.7145674820219727

理解e是复利增长的极限，有1块钱，复利100%，不管分成多少次，本利和都不会超过e≈2.718

从泰勒展开式来看

泰勒展开式：$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+...+\frac{f^{(n)}(x-x_0{)}^n}{n!}+R_n(x)$$
其中n阶泰勒余项$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

令$f(x)=e^x,x=1,x_0=0$可得：
$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}+R(n)$$

def factorial(n):
    result = 1
    for i in range(1,n+1):
        result *= i
    return 1/result

ee=1
for i in range(1,10):
    ee += factorial(i)
print(ee)

计算到第10项，可得e=2.7182815255731922，已经非常吻合。

可进一步了解：
https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)