Boyer-Moore Majority Vote Algorithm的更一般性问题

1) 问题描述

基本问题：对于一个给定数组A[0:n-1],找出出现次数大于 ⌊n/2⌋ 的元素，称为Majority element.
一般问题：对于一个给定数组A[0:n-1],找出出现次数大于 ⌊n/k⌋(k≥2) 的所有元素.

LeetCode问题链接：
Majority Element： https://leetcode.com/problems/majority-element/
Majority Element II: https://leetcode.com/problems/majority-element-ii/

2) k = 2问题

k=2时，满足要求的元素最多只有一个，我们将该唯一可能满足的元素称为Candidate，记作 v ，注意是可能满足的元素。其余元素的重复次数均不超过 ⌊n/2⌋ 。

将问题分解成递归问题。算法做两件事情：

• 找到暂时唯一满足条件的Candidate v
• 继续扫描数组A，计算 v 出现的次数，判断 v 的出现次数是否大于 ⌊n/2⌋ 。

如何找到Candidate v 的算法如下：

i,c:=0,0
do i != n
    if v = A[i] then c:=c+2
    elif c = i  then c,v:=c+2,A[i]
    fi
    i:=i+1
od
{R:only v may occur more than n/2 times in A[0:n-1]}

下面要说明程序结束时R: 判断是正确的。我们引入与R:等价的表示：

P:0≤i≤n

∧ v occurs at most c/2 times in A[0:i−1]∧ i≤c∧ c is even

∧ each other values occur at most i−c/2 times in A[0:i−1]

因此我们要说明 P: 在程序循环过程中始终为 True。考虑循环部分,

• 程序第3行，if v = A[i]条件满足，那么v在A[0:i]中出现次数比在A[0:i-1]中出现次数+1，相应c:=c+2，在本次循环中v 依然是唯一可能满足条件的数，(在本次循环之前c>2i，本次循环c:=c+2>2（i+1）)，同时其他数的出现次数不变。因此P: 为True。
• 程序第4行，elif c = i,则i-c/2=i/2，此时在A[0:i-1]中没有元素出现次数超过i/2 次，唯一可能在A[0:i]中初始次数多于i/2次的只可能是A[i],因此A[i]成为新的Candidate。P:依然保持 True。
• 循环内的其他情况时，即c>i && v!=A[i]时，P:依然保持 True。
  
  
  综上，我们知道在程序结束时，R:=True，即v是唯一可能的出现次数大于n/2的数。

3) k >= 2的一般性问题

对于更一般的 2≤k≤n ，算法同样做两件事情：

• 第一步，找出满足条件的Candidate集合T，其中的元素出现次数可能大于n/k次。
• 继续扫描数组A，计算集合T中各个元素出现的次数。

对于k，最多有k-1个不同元素出现多于n/k次，即T的尺寸为k-1。我们将R: 进行扩展：

R: {∀(v,c)∈T:v occurs at most c/k times in A[0:n−1] ∧ c>n ∧ k divides c}

∧ each other values occur at most n/k times in A[0:n−1]

相应的 P:

P:0≤i≤n

∧{∀(v,c)∈T:v occurs at most c/k times in A[0:i−1] ∧ c>i ∧ k divides c}

∧{each other values not in T occur at most s/k times in A[0:i−1]∧ s≤i∧k divides s}

伪代码如下：

分析和k=2情况类似。

算法复杂度：

空间复杂度O(k)；
时间复杂度：如果集合T使用树形结构，查找O(lg(k))和删除多个数操作复杂度为O(klg(k))，所以时间复杂度可能为O(nklg(k))。优化删除操作（实际上只删除一个元素即可），可以使复杂度降低为O(nlg(k)).

第二种算法

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参考文章：
[1]Finding Repeated Elements:
http://www.cs.utexas.edu/users/misra/scannedPdf.dir/FindRepeatedElements.pdf