[数学建模]线性规划与matlab解法

1.1 线性规划问题（LinearProgramming，LP）

1.1.1 线性规划的实例和定义

某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2h和1h；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台1h。若每天可用于加工的机器时数为A机器10h、B机器8h和C机器7h，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

设总利润为 z ，生产 x1 台甲机器，生产 x2 台乙机器，则目标函数 z=4x1+3x2
约束条件s.t.（subject to） ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪2x1+x2≤10,x1+x2≤8,x2≤7,x1,x2≤0。

1.1.2 线性规划问题的解的概念

一般情况

目标函数max（z=∑ni=1cixi），约束条件s.t.{∑nj=1aij=bi，i=1,2,...，m,xj≥0,j=1,2,...,n。式中:bi≥0,i=1,2,...，m。
可行解：满足约束条件的解 x =[x1,...,xn]T ,使式子达到最大值为最优解
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

1.1.3 线性规划的Matlab标准形式及软件求解

标准形式为
minx=fTX,s.t.⎧⎩⎨A⋅X≤B,Aeq⋅X=beq,lb≤X≤ub
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

(f为价值向量，B 为资源向量，x返回决策向量的取值，fval返回目标函数的最优值，Aeq，beq对应线性等式约数，lb,ub分别对应决策向量的下界向量和上界向量。)

1.2.1 案例：投资的收益和风险

市场上有n中资产 si(u=1,2,...,n) 可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n种资产在这一时期内购买 si 的平均收益率为 ri ,风险损失率为 qi , 投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的 si 中最大的一个风险来度量。购买 si 时要付交易费，费率为 pi , 当购买额不超过给定值 ui 时，交易费按购买 ui 计算。另外，假定同期银行存款利率是 r0 ,既无交易费又无风险（ r0=5% ）。

si	ri /%	qi /%	pi /%	ui /%
s1	28	2.5	1	103
s2	21	1.5	2	198
s3	23	5.5	4.5	52
s4	25	2.6	6.5	40

1.2.2 模型的分析与建立

（1）总体风险用所投资的 si 中最大的一个风险来衡量，即max{ qixi |i=1,2,…,n}。

（2）购买 si（i=1,2,...,n） 所付交易费是一个分段函数，即
交易费 = {pixi,xi>ui,piui,xi≤ui。
而题目所给的定值 ui （单位：元）相对总投资M很少， piui 更小，这样购买 si 的净收益可以简化为 （ri−pi）xi 。

（3）要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。
目标函数为 {max∑ni=0（ri−pi）xi,min(max1≤i≤n(qixi))。

（4）模型优化。
①在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，时最大的一个风险率为a，即 qixiM≤a(i=1,2,...,n) , 可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。

模型一：固定风险水平，优化收益
max∑ni=0(1+pi)xi,s.t.{qixiM≤a,i=1,2,...,n,∑ni=0(1+pi)xi=M,xi≥0,i=0,1,...,n。

②在实际投资中，若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻求相应的投资组合。

模型二：固定盈利水平，极小化风险
min(max1≤i≤n(qixi))。s.t.⎧⎩⎨∑ni=0(ri−pi)xi≥k,∑ni=0(1+pi)xi=M,xi≥0,i=0,1,2,...,n。

③投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险，收益分别赋予权重 s(0<s≤1)和s−1,s称为投资偏好系数。

模型三：带有权值的风险收益模型
min(s⋅max1≤i≤n(qixi))−(1−s)∑ni=0(ri−pi)xi,s.t.{∑ni=0(1+pi)xi=M,xi≥0,i=0,1,2,...,n。

1.2.3 模型的求解

模型一：
min f=[−0.05,−0.27,−0.19,−0.185,−0.185]⋅[x0,x1,x2,x3,x4]T,s.t.⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1,0.025x1≤a,0.015x2≤a,0.055x3≤a,0.026x4≤a,xi≥0,i=0,1,...,4。

clc,clear
a=0;
hold on
while a<0.05
    c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
    A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
    b=a*ones(4,1);
    Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
    beq=1;
    LB=zeros(5,1);
    [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
    Q=-Q;
    plot(a,Q,'*k');
    a = a + 0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')