特征缩减技术(shrinkage): lasso和岭回归

1、概述

通过对损失函数(即优化目标)加入惩罚项，使得训练求解参数过程中会考虑到系数的大小，通过设置缩减系数(惩罚系数)，会使得影响较小的特征的系数衰减到0，只保留重要的特征。常用的缩减系数方法有lasso(L1正则化)，岭回归(L2正则化)。
关于L1,L2正则化讲解：http://blog.csdn.net/wsj998689aa/article/details/39547771
http://blog.csdn.net/jinping_shi/article/details/52433975

2、正则化的目的

(1) 消除噪声特征
如果模型考虑了一些不必要的特征，那么这些特征就算是噪声。噪声是没必要的，使得模型复杂，降低模型准确性，需要剔除。
(2) 消除关联的特征
如果模型的特征空间中存在关联的特征，这会使得模型不适定，即模型参数会有多解。训练得到的只是其中一个解，这个解往往不能反映模型的真实情况，会误导模型的分析与理解。训练求解的模型参数受样本影响特别大，样本变化一点点，参数解就跳到另一组解去了。总之，模型是不稳定的。

3、正则化模型

正则化就是把额外的约束或者惩罚项加到已有模型（损失函数）上，以防止过拟合并提高泛化能力。损失函数由原来的E(X,Y)变为E(X,Y)+lamda||β||，w是模型系数组成的向量（有些地方也叫参数parameter，coefficients），||·||一般是L1或者L2范数，lamda是一个可调的参数，控制着正则化的强度。当用在线性模型上时，L1正则化和L2正则化也称为Lasso和Ridge。

(1) Lasso （L1正则化）

L1正则化将系数w的L1范数作为惩罚项加到损失函数上，由于正则项非零，这就迫使那些弱的特征所对应的系数变成0。因此L1正则化往往会使学到的模型很稀疏（系数β经常为0），这个特性使得L1正则化成为一种很好的特征选择方法。

如果继续增加lamda的值，得到的模型就会越来越稀疏，即越来越多的特征系数β会变成0。

Lasso(Regression Shrinkage and Selection via the Lasso,Tibshirani(1996))方法是一种压缩估计。它通过构造一个罚函数得到一个较为精炼的模型，使得它压缩一些系数，同时设定一些系数为零。因此保留了子集收缩的优点，是一种处理具有复共线性数据的有偏估计。
　　Lasso 的基本思想是在回归系数的绝对值之和小于一个常数的约束条件下，使残差平方和最小化，从而能够产生某些严格等于0 的回归系数，得到可以解释的模型。R的Lars 算法的软件包提供了Lasso编程，我们根据模型改进的需要，可以给出Lasso算法，并利用AIC准则和BIC准则给统计模型的变量做一个截断，进而达到降维的目的。因此，我们通过研究Lasso可以将其更好的应用到变量选择中去。
　　

然而，L1正则化像非正则化线性模型一样也是不稳定的，如果特征集合中具有相关联的特征，当数据发生细微变化时也有可能导致很大的模型差异(回归系数变化较大)。

(2) 岭回归(L2正则化)

L2正则化将系数向量的L2范数添加到了损失函数中。由于L2惩罚项中系数是二次方的，这使得L2和L1有着诸多差异，最明显的一点就是，L2正则化会让系数的取值变得平均。对于关联特征，这意味着他们能够获得更相近的对应系数。还是以Y=X1+X2为例，假设X1和X2具有很强的关联，如果用L1正则化，不论学到的模型是Y=X1+X2还是Y=2X1，惩罚都是一样的，都是2lamda。但是对于L2来说，第一个模型的惩罚项是2lamda，但第二个模型的是4*lamda。可以看出，系数之和为常数时，各系数相等时惩罚是最小的，所以才有了L2会让各个系数趋于相同的特点。

可以看出，L2正则化对于特征选择来说一种稳定的模型，不像L1正则化那样，系数会因为细微的数据变化而波动。所以L2正则化和L1正则化提供的价值是不同的，L2正则化对于特征理解来说更加有用：表示能力强的特征对应的系数是非零。

也就是说，在不同的数据上L1正则化得到的模型（系数）相差较大，但对于L2正则化模型来说，结果中的系数非常的稳定，差别较小，都比较接近某一个常数，能够反映出数据的内在结构。

与lasso相比，这里的惩罚项加上了平方：

http://dataunion.org/14072.html
https://onlinecourses.science.psu.edu/stat857/node/155
scikit-learn: http://scikit-learn.org/stable/modules/linear_model.html#lars-lasso