冈萨雷斯《数字图像处理》学习笔记（3）--频率域滤波(含傅里叶变换推导)

频率域滤波所有的滤波都是通过傅里叶变换在频率域实现的，所以我们先重点提出傅里叶变换。

一、傅里叶变换基础

一维傅里叶变换数学推导

首先，我们知道傅里叶级数，形如：

f(x)=a0+∑n=1∞[ancos(nωx)+bnsin(nωx)]…(1) f ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n ω x ) + b n s i n ( n ω x ) ] … ( 1 )

是由 三角函数系

1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，cosnx，sinnx，…(2) 1 ， c o s x ， s i n x ， c o s 2 x ， s i n 2 x ， … ， c o s n x ， s i n n x ， … ( 2 )

经过组合所产生的三角级数。 a0，an，bn a 0 ， a n ， b n 称为傅里叶系数。为了求傅里叶系数，我们先引出下面的预备知识。

三角函数系(2)中任何两个不相同的函数的乘积在 [−T2，T2] [ − T 2 ， T 2 ] 上的积分等于0。即：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∫T2−T2cosnxdx=∫T2−T2sinnxdx=0∫T2−T2cosnxsinmxdx=0∫T2−T2cosnxcosmxdx=∫T2−T2sinnxsinmxdx=0 (m≠n)(1) (1) { ∫ − T 2 T 2 c o s n x d x = ∫ − T 2 T 2 s i n n x d x = 0 ∫ − T 2 T 2 c o s n x s i n m x d x = 0 ∫ − T 2 T 2 c o s n x c o s m x d x = ∫ − T 2 T 2 s i n n x s i n m x d x = 0   ( m ≠ n )

而三角函数系(2)中任何两个相同函数的乘积在 [−T2，T2] [ − T 2 ， T 2 ] 上的积分都不等于0。

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪∫T2−T2cos2nxdx=∫T2−T2sin2nxdx=T2∫T2−T212dx=T (2) (2) { ∫ − T 2 T 2 c o s 2 n x d x = ∫ − T 2 T 2 s i n 2 n x d x = T 2 ∫ − T 2 T 2 1 2 d x = T  

对（1）式在 [−T2，T2] [ − T 2 ， T 2 ] 逐项积分，

∫T2−T2f(x)dx=a0∫T2−T2dx+∑1∞[an∫T2−T2cos(nωx)dx+bn∫T2−T2sin(nωx)dx] ∫ − T 2 T 2 f ( x ) d x = a 0 ∫ − T 2 T 2 d x + ∑ 1 ∞ [ a n ∫ − T 2 T 2 c o s ( n ω x ) d x + b n ∫ − T 2 T 2 s i n ( n ω x ) d x ]

由上面的预备知识，我们知道上式右边括号内的积分等于0，所以

∫T2−T2f(x)dx=a0T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) d x = a 0 T

故

a0=1T∫T2−T2f(x)dx a 0 = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) d x

.

现以 cos(nωx) c o s ( n ω x ) 乘（1）式两端，再同上逐项积分，我们得到：

∫T2−T2f(x)cos(nωx)dx=a0∫T2−T2cos(nωx)dx+∑n=1∞[an∫T2−T2cos(nωx)cos(nωx)dx+bn∫T2−T2sin(nωx)cos(nωx)dx] ∫ − T 2 T 2 f ( x ) c o s ( n ω x ) d x = a 0 ∫ − T 2 T 2 c o s ( n ω x ) d x + ∑ n = 1 ∞ [ a n ∫ − T 2 T 2 c o s ( n ω x ) c o s ( n ω x ) d x + b n ∫ − T 2 T 2 s i n ( n ω x ) c o s ( n ω x ) d x ]

等式右边除了

∫T2−T2cos2nωxdx=T2 ∫ − T 2 T 2 c o s 2 n ω x d x = T 2

外，其他积分项都等于0，即

∫T2−T2f(x)cos(nωx)dx=anT2 ∫ − T 2 T 2 f ( x ) c o s ( n ω x ) d x = a n T 2

故

an=2T∫T2−T2f(x)cos(nωx)dx a n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) c o s ( n ω x ) d x

同理，用 sin(nωx) s i n ( n ω x ) 乘以（1） 两端并在 [−T2，T2] [ − T 2 ， T 2 ] 逐项积分，可得

bn=2T∫T2−T2f(x)sin(nωx)dx b n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) s i n ( n ω x ) d x

三个系数求完后，我们尝试把它化为指数形式。这时我们需要用到 欧拉公式

{ejnωx=cos(nωx)+jsin(nωx)e−jnωx=cos(nωx)−jsin(nωx) (3) (3) { e j n ω x = c o s ( n ω x ) + j s i n ( n ω x ) e − j n ω x = c o s ( n ω x ) − j s i n ( n ω x )  

联立两式得到

⎧⎩⎨cos(nωx)=ejnωx+e−jnωx2sin(nωx)=ejnωx−e−jnωx2j (4) (4) { c o s ( n ω x ) = e j n ω x + e − j n ω x 2 s i n ( n ω x ) = e j n ω x − e − j n ω x 2 j  

将上式代入（1）中，替换 cos(nωx) c o s ( n ω x ) 和 sin(nωx) s i n ( n ω x ) ，得到

f(x)=a0+∑n=1∞[ancos(nωx)+bnsin(nωx)]=a0+∑n=1∞[anejnωx+e−jnωx2+bnejnωx−e−jnωx2j]=a0+∑n=1∞[ejnωxan−jbn2+e−jnωxan+jbn2]…(3)(5)(6)(7) (5) f ( x ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n ω x ) + b n s i n ( n ω x ) ] (6) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n e j n ω x + e − j n ω x 2 + b n e j n ω x − e − j n ω x 2 j ] (7) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ e j n ω x a n − j b n 2 + e − j n ω x a n + j b n 2 ] … ( 3 )

我们令 c0=a0=1T∫T2−T2f(x)dx c 0 = a 0 = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) d x

cn=an−jbn2=1T∫T2−T2f(x)cos(nωx)dx−j1T∫T2−T2f(x)sin(nωx)dx=1T∫T2−T2f(x)[cos(nωx)−jsin(nωx)]dx=1T∫T2−T2f(x)e−jnωxdx (8)(9)(10)(11) (8) c n = a n − j b n 2 (9) = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) c o s ( n ω x ) d x − j 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) s i n ( n ω x ) d x (10) = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) [ c o s ( n ω x ) − j s i n ( n ω x ) ] d x (11) = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) e − j n ω x d x  

c−n=an+jbn2=1T∫T2−T2f(x)ejnωxdx c − n = a n + j b n 2 = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) e j n ω x d x

整理一下得到

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c0=a0=1T∫T2−T2f(x)dxcn=1T∫T2−T2f(x)e−jnωxdxn=1，2，…c−n=1T∫T2−T2f(x)ejnωxdxn=1，2，…(12) (12) { c 0 = a 0 = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) d x c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) e − j n ω x d x n = 1 ， 2 ， … c − n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) e j n ω x d x n = 1 ， 2 ， …

结合上面三个式子，我们可以写成如下：

cn=1T∫T2−T2f(x)e−jnωxdxn=0，±1，±2，… c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) e − j n ω x d x n = 0 ， ± 1 ， ± 2 ， …

故，将上式代入（3）式，我们得到傅里叶变换的指数公式：

f(x)=∑n=−∞∞cne−jnωx f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e − j n ω x

傅里叶变换的理解

不了解傅里叶变换的可以先看这个链接
如何直观形象、生动有趣地给文科学生介绍傅里叶变换？

傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工（例如去噪）。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号（得到去噪后的图片）。

在处理图像时，图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域（图像比较柔和），对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高（有可能是噪声）。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设 f 是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示 f 的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域。其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。（这段摘自他人）

二、频率域滤波

空间域和频率域中的线性滤波的基础都是卷积定理，具体的可以见我上一个博客冈萨雷斯《数字图像处理》学习笔记（2）–灰度变换与空间滤波

很简单，频率域滤波就是通过傅里叶变换后在频率域中进行滤波，再通过傅里叶反变换得到滤波后的图像。

低通滤波器

低通滤波器：使低频通过而使高频衰减的滤波器
1. 被低通滤波的图像比原始图像少尖锐的细节部分而突出平滑过渡部分
2. 对比空间域滤波的平滑处理，如均值滤波器

其中满足 D(u,v)=D0 D ( u , v ) = D 0 的点的轨迹为一个圆。

高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
1.被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑过渡而突出边缘等细节部分
2.对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子

同样，我们可以知道，经过高通滤波后图像中的边缘和其他灰度急剧转变得到了增强，图像失去了大部分原来图像平缓的部分。

三、相关资源

[1] 傅立叶级数和傅立叶变换是什么关系？
[2] 如果看了此文你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧
[3] 为什么要进行傅里叶变换,其物理意义是什么?
[4] (精心整理)图像的傅里叶变换