摄像机成像、畸变模型
一 摄像机成像模型
成像的过程实质上是几个坐标系的转换。首先空间中的一点由世界坐标系转换到摄像机坐标系，然后再将其投影到成像平面（摄像机的CCD），最后再将成像平面上的数据转换到图像平面（最后生成的图像）。
图1-1
世界空间内的一个点在图像上成像的过程称为投影成像过程，这中间转换过程构成的矩阵M称为投影矩阵。
摄像机的畸变参数与相机成像时采用的分辨率无关，而fx,fy和光心位置cx,cy与分辨率有关，但是成倍数关系，例如在分辨率320×240分辨率标定得到内参数为fx0,fy0,cx0,cy0，那么在分辨率640×480下对应的参数则为2fx0,2fy0,2cx0,2cy0。
上面这些参数中，f,t所采用的量纲都是mm，而dx和dy指的是每个像素个数的大小，即mm/pixel，那么经过换算最后得到的u、v的量纲自然也就是像素。fx和fy是由f/dx,f/dy计算而来，表示的是长度值为f时对应的像素个数，也即长度值为f(mm)时，在图像平面的x方向和y方向的像素个数，fx、fy、u0、v0构成A，A右边的数据为[R|t]M’，看起来[R|t]M’对应的数据的量纲好像是mm，因为M’和t的量纲都是mm，这样A里面的量纲又为像素，这样乘起来的量纲就是mm*pixel了，这显然不对。但是事实情况并不是真的这样，最后[R|t]M’与A相乘的时候，[R|t]M’的结果是需要进行归一化的，即[xc yc zc 1] →[xc/zc yc/zc 1]，这个时候它的量纲其实就只是倍数了。整个过程如下图
图 1-2
opencv标定出来的内参数矩阵一般为（分辨率为640×480）
5.3193633829444082e+002 0. 3.1950000000000000e+002 0.
5.3193633829444082e+002 2.3950000000000000e+002 0. 0. 1.
这里的fx≈531.9，fy≈531.9，u0=319.5,v0=239.5。u0和v0比较好理解，差不多就是图像的中心，但是这里的fx和fy为500多还是有点抽象，虽然前面已经说了表示焦距长度对应的像素个数。根据上图中u和v的计算公式，还有标定的内参矩阵值，其实可以反推出x’、y’的大致大小，这里u的最大值是640，v的最大值为480，用这些值可以算出x’和y’的最大值分别为0.6025和0.4521，它们分别代表经过Z值归一化后的比例值，这个值实质上反映了相机的视角。
二 成像畸变
在没有畸变的情况下，理想的成像的过程是如图1-2所示
但是在实际的情况中，真正的镜头通常有一些形变，主要的变形为径向形变，也会有轻微的切向形变。所以上面的模型需要扩展为：
图2-1
k1和k2是径向形变系数，p1和p2是切向形变系数。OpenCV中没有考虑高阶系数。形变系数跟拍摄的场景无关，因此它们是内参数，而且与拍摄图像的分辨率无关。参见opencv中文wiki
opencv计算得到的畸变参数形式为：
6.7442695842244271e-002 2.4180872220967919e-001 0. 0.
-3.3970575589699975e-001
对应存放的畸变参数为[k1,k2,p1,p2[,k3[,k4,k5,k6]]
三 畸变校正
根据前面的说明，可以知道摄像机拍下来的图片是存在畸变的，现在需要根据内参矩阵和畸变参数对存在畸变的图像进行校正。校正的过程就是就是图2-1描述的过程。
首先是根据拍摄得到的存在畸变图像的坐标，计算出根据畸变模型得到的校正图像对应的坐标，这样就建立了畸变图像坐标和校正图像坐标之间的映射关系。同时计算出来的校正坐标存在小数，所以就需要对其插值。
例如XYsrc(1,1)<-->XYrect(1.5,1.0)，那么假如采用简单的线性插值的话，Irect(1.5,1.0)=[Isrc(1,1)+Isrc(2,1)]*0.5
Irect就是算出来的校正后的像素值。
进行畸变的matlab校正代码（参见stackoverflow）如下：
clear;
clc;
A =[5.9418398977142772e+002 0 3.1950000000000000e+002;
0 5.941839897714e+002 2.3950000000000000e+002;
0 0 1];
D = [6.7442695842244271e-002 2.4180872220967919e-001 0 0 -3.3970575589699975e-001];
fx = A(1,1);
fy = A(2,2);
cx = A(1,3);
cy = A(2,3);
k1 = D(1);
k2 = D(2);
k3 = D(5);
p1 = D(3);
p2 = D(4);
K = A;
Idistorted = imread('logi.jpg');
Idistorted = rgb2gray(Idistorted);
Idistorted = im2double(Idistorted);
I = zeros(size(Idistorted));
[i j] = find(~isnan(I));
% Xp = the xyz vals of points on the z plane
Xp = inv(K)*[j i ones(length(i),1)]';
% Now we calculate how those points distort i.e forward map them through the distortion
r2 = Xp(1,:).^2+Xp(2,:).^2;
x = Xp(1,:);
y = Xp(2,:);
x = x.*(1+k1*r2 + k2*r2.^2) + 2*p1.*x.*y + p2*(r2 + 2*x.^2);
y = y.*(1+k1*r2 + k2*r2.^2) + 2*p2.*x.*y + p1*(r2 + 2*y.^2);
% u and v are now the distorted cooridnates
u = reshape(fx*x + cx,size(I));
v = reshape(fy*y + cy,size(I));
% Now we perform a backward mapping in order to undistort the warped image coordinates
I = interp2(Idistorted, u, v);
subplot(121); imagesc(Idistorted);
subplot(122); imagesc(I);
得到的结果图为：
