第N次重新推到Camera变换矩阵后的总结

这个轮回我已经做过3次了：写DirectX的API driver，然后纠结几个小时把ViewPerspective给推导一遍。可能还有第4或这第5次，既然如此这次就留点东西，让下次再轮回时少浪费点时间。

前面的废话

这里就不记WorldView了。

orthogonal 变换

• 目的（简单描述版）：把view空间的一个AABB变换到graphics API所处理的NDC(normalized device coordinate)里，不要近大远小，平行的线看起来距离一直不变。
• 目的（详细描述版，以DX为例）：把view空间一个AABB[Min=(-w/2, -h/2, zNear), Max=(w/2,h/2,zFar)]用一个matrix4x4变到DirectX所规定的NDC space[Min=(-1,-1,0),Max=(1,1,1)]里
• 实现（简单描述版）：对AABB先做平移，让原来AABB在zNear的那个面对齐到z=0,然后再缩放，把AABB和NDC的大小对上。结束
• 实现（详细描述版）：对输入坐标（view space坐标）。先乘一个Translate(0, 0, -zNear)，再乘一个Scale(2/w,2/h,1/(f-n))。结束

perspective 变换

• 目的（简单版描述）：把view space的AABB变换到graphics API所处理的NDC里，但是有近大远小，也就是说：沿着视线方向直线上的2个点会在屏幕上处于相同位置

• 目的（详细版）：使用一个matrix4x4对输入坐标做变换，具体来说要让输出结果的x/w和y/w对于在同一条视线上的2个点是相同的,并且z/w仍然是随z增大而单调递增，并且视锥台（因为要切掉近平面和eye之间的空间）要能被map到NDC.视锥台空间[Min=(-w/2,-h/2,zNear), Max=(zFarw/(2zNear),zFarh/(2zNear),zFar)]
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• 实现：perspective变换可以分成2个步骤(1)view space->non-NDC orthogonal space(2)non-NDC orthogonal space->NDC.所谓的non-NDC orthognal space是一个正交空间。所以第2步可以直接用一个orthogonal矩阵，第一步需要另外推算

view space->non-NDC orthogonal space变换

• 目的（简略版）：把view space的视锥台空间变换到AABB space
• 目的（详细版）：znear、zfar的值都不变。视锥台空间的znear到了AABB space还是znear，视锥台空间的zfar到了AABB space 还是zfar。另外视锥台空间的znear完全不变地进入AABB space。变化地地方在于：视锥台空间地zfar平面（以及视锥台内处znear平面上的其他点）都要根据z值来scale XY坐标。要使得同一视线上的点在变换后x/w和y/w都相同.
• 实现
  • 对于输入点的xy坐标，考虑到z轴上的点(0,0,z)仍然是(0,0,?),所以对于xy坐标的变换是x’ = zNear * x / depth和y’ = zNear * y / depth。由于变换的方式是乘上Matrix4x4再xyz分别除w。所以Matrix4x4上对应xy的scale应该是zNea，所以x’ = zNear * x, y’ = zNear * y. 此时w的计算公式是w’= z
  • 如果矩阵上z的scale是1，那z/w的结果是1,这样深度信息就全没了。由于是Matrix4x4,所以对于z能做的变换顶多是z’ = a * z + b, 此时z’/w’ = a + b/z,这个有2个问题：(1)和z是反相关(2)不再NDC要求的[0,1] range 里。所以要求得一个g(z) = a + b/z，要能让g(zNear) = 0, g(zFar) = 1。求解结果是 a = -f / (n-f), b = f*n/(n-f)
  • 如此便有了view space->non-NDC orthogonal space的变换矩阵

主要推导过程