高等数学复习之二(导数与微分)

旁白：一晃已经6号了，前面差了好几次更新，真的是。。。

补2017.11.02日：

第二章 导数与微分

第一节 导数的概念

》导数概念

旁白：关于这个概念，书中一开始给了两个栗子：

一个是求某时刻的速度，即当t->t’时,lim((s-s’)/(t-t’))的值。

另一个是求切线斜率的栗子，x->x’时，lim((y-y’)/(x-x’))的值。

还有很多其他的栗子，他们的这一种共性提取出来就形成了导数的概念。它反应了因变量随着自变量变化而变化的快慢程度。还记得上一张最后的一致连续性的讨论吗？很明显，当变化过快，也就是导数不存在的时候就不是一致连续的。

》常见函数求导

旁白：掌握了这个很必要，经常需要求导降维度什么的。都是通过定义求出来的，其中设计到高中的一些数学知识因式分解，三角函数等，需要自己去补，还有前面的求极限的知识。

旁白：当然也有导数不存在的情况，也就是在该处导数定义里的那个极限不存在，左极限不等于右极限。

》连续性与可导的关系
可导必连续，连续不一定可导。

补2017.11.04日：-17

旁白：这阵子忙的够呛，进度终于大幅度落下，看看要多久能赶上。

第二节 函数的求导法则

旁白：这节其实讲的的是导数运算的规则，证明还是根据定义来推导公式

》一般运算法则

旁白：从以上公式，联合第一节常见函数求导，可以对四则运算组合的函数进行求导。

》反函数运算法则

》复合函数运算法则

补2017.11.06日：-15

第三节 高阶导数

》二阶导数和n阶导数

旁白：这大概是我见到的最简单的一节了= =

补2017.11.08日：-13

第四节 题目太长了= =

》显函数和隐函数

》隐函数求导

旁白：该话题没有任何定理，应该说是一种处理隐函数导数的通常经验：

1.将隐函数两边求导，如下

2.特殊函数特殊处理，如下

》参数方程

旁白：看到该函数，如何求dy/dx?

这里要看仔细点，dy/dx=dy/dt*dt/dx，这个公式是不是超级熟悉。这个公式说起来容易，很多人会忽略掉上面的这段文字。它成立的条件是依据复合函数的求导法则

》相关变化率

旁白：也就是等式两边同时对第三变量t求导，等式依然成立。

补2017.11.10日：-12

第五节 函数的微分

旁白：终于到微积分了，这是以前比较有印象的一块。

》微分的概念

旁白：微分与导数公式关系密切，很容易混淆。强化记忆一下，导数是变化之比的极限y’ = lim(Δy/Δx),微分就是dy ≈ Δy，舍去的是Δx的高阶部分。从微分定义上看，微分舍去了自变量增量的高阶部分，所以微分是函数真实值的近似值，常用于估算某些值的近似值。

》可微与可导

两者之间的关系是：y’ = dy/dx

》微分的几何意义

》微分运算法则

旁白：基于dy = y’ * dx，不难对微分进行运算，其实就是导数运算

》微分在近似计算中的应用1:估算

旁白：书中这个例子描述了估算的时候，采用微分有时候更加便利。这道题如果采用常规的体积相减，计算量将会变大，而且实际生产环节即便是用体积相减，求出来的不一定就是精确值。有些时候采用估算更佳合适。

》微分在近似计算中的应用2:误差估计
绝对误差与相对误差

旁白：书中例子描述了已知测量A的误差为d，从而求出A^2的误差这样的例子。误差即是A的微小增量ΔA，估算为dA。所以求d(A^2)即可。