由递推关系到通项公式

由递推关系求通项公式的类型与方法

1. 递归关系形如： an+1=pan+q

利用不动点求出：

x=px+q

的根 x=−qp−1 ，利用递归关系（等式两边同时减去 x ）可化为，

an+1+qp−1=p(an+qp−1)

构成等比数列，然后求解；

例：设数列 {an} 满足 a1=a,an+1=can+1−c ，求 {an} 的递归公式；

x=cx+1−c⇒x=1

所以有：

an+1−1=c(an−1)⇒an−1=cn−1(a−1)

2. 递归关系形如： an+2=pan+1+qan

待定系数法构造：

an+2−λan+1=χ(an+1−λan)

例： a1=2,a2=3,2an=an−1+an+1 ，求 an

an+1−an=an−an−1

⇒ an=n+1