红黑树是一种二叉平衡树,在每一个结点增加了一个存储位表示结点的颜色,以维持它的平衡。
(1)红黑树结点有如下域:color,key,left,right,p;我们把这些NIL结点是为指向外结点的指针,可以自己定义;
(2)每一个结点不是红的就是黑的,根节点和NIL结点都是黑的;
(3)如果一个节点是红的,那么它的父亲和两个孩子都是黑的;
(4)对于每一个结点,它到其子孙结点的所有路径上的包含相同数目的black结点,并不要求父节点到每一层的黑高度相同;
注1:可以使用同一的一个NIL来表示所有的叶子结点和根部的父节点,这样可以减少浪费内存,该NIL的父亲就是上述的普通结点,这样查找不成功时,就可以重新回到根节点root;
注2:设某个结点x出发到达任意一个节点的任意路径上,黑结点的个数称为该节点的黑高度,bh(x)表示;可归纳证明出根节点至少有2^h-1个结点,故n>=2^h-1,求得h<=2lg(n+1);
红黑树插入
(1)为了保持上述红黑树的性质(4),插入的节点z颜色一定是红色,其父节点为p;
(2)若刚开始树为空,则z是根节点,p为NIL节点,则将z的结点改为黑色;
(3)若p的颜色是黑色,则直接插入,因为红黑树的性质完全保持;
(4)若p的颜色是红色,违反红黑树的性质3,此时要讨论情况;
(4.1)若p是p父亲的左孩子;
(4.1.1)若p的兄弟节点ps是红色,则改变p和ps为黑色,p父节点改为红色,此时p父节点为新的z,继续判别;
(4.1.2)若p的兄弟节点ps是黑色,且z是父亲的右孩子,做一次左旋,到情况(4.1.3);
(4.1.3)若p的兄弟节点ps是黑色,且z是父亲的左孩子,做一次右旋,改变z父亲颜色为黑色,z祖父颜色为红色,完毕;
(4.2)若p是p父亲的右孩子;情况与(4.1)类似,执行相反的动作;
(5)始终将根节点的颜色置为黑,因为处理时根节点有可能变红;
(6)时间复杂度为O(lgn),空间复杂度为O(1);
红黑树删除
(1)首先根据二叉平衡树的删除原理,找到被删除的节点y,x是y的子女(肯定只有一个),x会连接到y的父亲上;
(2)若y为红色,直接删掉,因为红黑树的性质保持不变;
(3)若y为黑色节点,x为红色,则直接删掉y,将x变为黑色;
(4)若y为黑色节点,x(可以为NIl节点)为黑色,则删掉y,将x变为双黑色;
(4.1)若x是x父亲的左孩子,分别有四种情况来讨论;
(4.1.1)若x的兄弟是红色,则左旋一次,改变兄弟颜色为黑,父亲颜色为红,则它仍为新的x,继续;
(4.1.2)若x的兄弟是黑色,且x兄弟的两个孩子都是黑色,则去掉x的一重黑色,将兄弟颜色变为红,将去掉的一重黑色,给x的父亲,若x父亲是红色,则直接改成黑色,否则将变成双黑,成为新的x,继续;
(4.1.3)若x的兄弟是黑色,且x兄弟的右孩子黑色,左孩子是红色,则先将x兄弟那一块右旋,改色,使得x兄弟的右孩子变为红色;进入(4.1.4);
(4.1.4)若x的兄弟是黑色,且x兄弟的右孩子红色,左孩子可任意色,则左旋,改变x兄弟右孩子颜色为黑色,兄弟变为父亲的颜色,父亲变为黑色,自己去掉一重颜色,完毕;
(4.2)若x是x父亲的右孩子,分别也有四种情况来讨论,但与(4.1)对称,相反来处理;
(5)若根为双黑,直接变为单黑,返回;
(6)时间复杂度为O(lgn),空间复杂度为O(1);
红黑树定义:
typedef struct ngx_rbtree_node_s ngx_rbtree_node_t;
//红黑树节点的定义
struct ngx_rbtree_node_s {
ngx_rbtree_key_t key; //关键字
ngx_rbtree_node_t *left; //左子节点
ngx_rbtree_node_t *right; //右子节点
ngx_rbtree_node_t *parent;//父节点
u_char color; //颜色,非红即黑
u_char data; //1个字节的节点数据,空间较小很少使用;
};
typedef struct ngx_rbtree_s ngx_rbtree_t;
//为解决不同节点含有相同关键字元素冲突问题,设置该指针,灵活的添加冲突元素
typedef void (*ngx_rbtree_insert_pt) (ngx_rbtree_node_t *root,
ngx_rbtree_node_t *node, ngx_rbtree_node_t *sentinel);
//红黑树的定义
struct ngx_rbtree_s {
ngx_rbtree_node_t *root; //指向树的根节点,根结点也是数据元素
ngx_rbtree_node_t *sentinel; //指向哨兵NIL节点
ngx_rbtree_insert_pt insert; //添加元素的函数指针
};
//左旋转
static ngx_inline void
ngx_rbtree_left_rotate(ngx_rbtree_node_t **root, ngx_rbtree_node_t *sentinel,
ngx_rbtree_node_t *node)
{
ngx_rbtree_node_t *temp;
temp = node->right; //要旋转节点的右孩子p
node->right = temp->left; //当前节点的右孩子指向改变p的左孩子
if (temp->left != sentinel) { //不是NIL节点时
temp->left->parent = node; //修改父亲的指向
}
temp->parent = node->parent; //p指向要旋转节点的父亲
if (node == *root) { //如果当前旋转节点的是根结点,那么根指向要改变
*root = temp;
} else if (node == node->parent->left) { //左孩子时
node->parent->left = temp; //新的左孩子
} else {
node->parent->right = temp; //新的右孩子
}
temp->left = node; //p的左孩子指向
node->parent = temp; //父亲改变
}
//右旋转,与上述左边旋转对称
static ngx_inline void
ngx_rbtree_right_rotate(ngx_rbtree_node_t **root, ngx_rbtree_node_t *sentinel,
ngx_rbtree_node_t *node)
{
ngx_rbtree_node_t *temp;
temp = node->left;
node->left = temp->right;
if (temp->right != sentinel) {
temp->right->parent = node;
}
temp->parent = node->parent;
if (node == *root) {
*root = temp;
} else if (node == node->parent->right) {
node->parent->right = temp;
} else {
node->parent->left = temp;
}
temp->right = node;
node->parent = temp;
}
插入节点:
void
ngx_rbtree_insert_value(ngx_rbtree_node_t *temp, ngx_rbtree_node_t *node,
ngx_rbtree_node_t *sentinel)
{
//temp为初始时为指向根节点
ngx_rbtree_node_t **p;
for ( ;; ) {
p = (node->key < temp->key) ? &temp->left : &temp->right; //目标节点的值小于当前节点的值时,向左走即走向左节点,否则向右
if (*p == sentinel) { //一直找到该节点的孩子指向的是NIL节点,直接break
break;
}
temp = *p; //改变方向
}
//注意使用地址的地址,才能改变某节点的孩子的指向,否则改变不了
*p = node; //该处指向新的节点,*p(某节点的孩子)本来指向sentinel,现在指向node了
node->parent = temp;
node->left = sentinel; //指向NIL
node->right = sentinel;
ngx_rbt_red(node); //插入的节点均为红色
}
void
ngx_rbtree_insert(ngx_rbtree_t *tree, ngx_rbtree_node_t *node)
{
ngx_rbtree_node_t **root, *temp, *sentinel;
/* a binary tree insert */
root = (ngx_rbtree_node_t **) &tree->root; //指向根节点指针的指针,可改变指向根节点指针的指向
sentinel = tree->sentinel; //取出NIL节点
if (*root == sentinel) { //说明此时红黑树为空
node->parent = NULL;
node->left = sentinel; //指向NIL
node->right = sentinel;
ngx_rbt_black(node); //node节点直接置为黑
*root = node; //根节点直接指向该节点
return;
}
tree->insert(*root, node, sentinel);
//插入节点,如ngx_rbtree_insert_value(ngx_rbtree_node_t *temp, ngx_rbtree_node_t *node, ngx_rbtree_node_t *sentinel)
/* re-balance tree */
//红黑树平衡
//当前节点不为根节点,而且当前节点的父亲为红色时
while (node != *root && ngx_rbt_is_red(node->parent)) {
if (node->parent == node->parent->parent->left) { //当前节点的父亲是左节点时
temp = node->parent->parent->right; //当前节点的父亲的右兄弟
//向上转移
if (ngx_rbt_is_red(temp)) {
//对应算法导论第三版P179的情况1
ngx_rbt_black(node->parent); //当前节点的父亲变黑
ngx_rbt_black(temp); //当前节点的父亲的右兄弟变黑
ngx_rbt_red(node->parent->parent);//当前节点的父亲的父亲变红
node = node->parent->parent; //当前节点变为该当前节点的父亲的父亲
} else { //当前节点的父亲的右兄弟为黑色时
//对应算法导论第三版P179的情况2
//当前节点是右节点时,先左旋转
if (node == node->parent->right) {
node = node->parent; //当节点变为父节点
ngx_rbtree_left_rotate(root, sentinel, node); //当前节点左旋转
}
//对应算法导论第三版P179的情况3
ngx_rbt_black(node->parent); //当前节点的父亲变为黑色
ngx_rbt_red(node->parent->parent); //当前节点的父亲的父亲变为黑色
ngx_rbtree_right_rotate(root, sentinel, node->parent->parent); //当前节点父亲的父亲右旋转
}
} else { //相反,对称操作
temp = node->parent->parent->left;
if (ngx_rbt_is_red(temp)) {
ngx_rbt_black(node->parent);
ngx_rbt_black(temp);
ngx_rbt_red(node->parent->parent);
node = node->parent->parent;
} else {
if (node == node->parent->left) {
node = node->parent;
ngx_rbtree_right_rotate(root, sentinel, node);
}
ngx_rbt_black(node->parent);
ngx_rbt_red(node->parent->parent);
ngx_rbtree_left_rotate(root, sentinel, node->parent->parent);
}
}
}
ngx_rbt_black(*root); //最后始终着色根结点为黑色
}
void
ngx_rbtree_delete(ngx_rbtree_t *tree, ngx_rbtree_node_t *node)
{
ngx_uint_t red;
ngx_rbtree_node_t **root, *sentinel, *subst, *temp, *w;
/* a binary tree delete */
root = (ngx_rbtree_node_t **) &tree->root;
sentinel = tree->sentinel;
//subst为要替代的节点
//temp为将要替代节点的孩子
if (node->left == sentinel) { //删除节点为左孩子为NIL节点
temp = node->right;
subst = node;
} else if (node->right == sentinel) {
temp = node->left;
subst = node;
} else {
subst = ngx_rbtree_min(node->right, sentinel); //找到以删除节点右孩子为根的最小值节点
if (subst->left != sentinel) {
temp = subst->left;
} else { //通过ngx_rbtree_min找到的,该最小值节点的左孩子一定是NIL
temp = subst->right;
}
}
if (subst == *root) { //subst为要删除的节点为根节点时
*root = temp; //指向新的根节点
ngx_rbt_black(temp);
/* DEBUG stuff */
node->left = NULL;
node->right = NULL;
node->parent = NULL;
node->key = 0;
return;
}
red = ngx_rbt_is_red(subst); //直接取颜色
if (subst == subst->parent->left) {
subst->parent->left = temp; //父亲的左孩子指向要删除节点的左孩子
} else {
subst->parent->right = temp; //父亲的右孩子指向要删除节点的右孩子
}
if (subst == node) { //要删除的节点为原始的节点时
temp->parent = subst->parent; //父亲节点指向的改变
} else {
if (subst->parent == node) { //通过ngx_rbtree_min一开始就不成立,即node->right的left为NIL节点
temp->parent = subst;
} else {
temp->parent = subst->parent; //通过ngx_rbtree_min找到的
}
subst->left = node->left; //指向node的左孩子
subst->right = node->right; //指向node的右孩子
subst->parent = node->parent;
ngx_rbt_copy_color(subst, node); //将node节点的颜色复制给subst节点
if (node == *root) {
*root = subst; //指向新的根节点
} else {
if (node == node->parent->left) {
node->parent->left = subst; //改变父亲孩子指向到subst
} else {
node->parent->right = subst;
}
}
if (subst->left != sentinel) { //改变subst孩子的指向
subst->left->parent = subst;
}
if (subst->right != sentinel) {
subst->right->parent = subst;
}
}
/* DEBUG stuff */
node->left = NULL;
node->right = NULL;
node->parent = NULL;
node->key = 0;
if (red) { //如果删除的节点的颜色为红色,直接返回
return;
}
//平衡
/* a delete fixup */
//孩子节点,如果孩子节点为黑色时
while (temp != *root && ngx_rbt_is_black(temp)) {
if (temp == temp->parent->left) { //temp为左孩子时
w = temp->parent->right; //temp的右兄弟
//算法导论第三版P186中的情况a
if (ngx_rbt_is_red(w)) { //temp的右兄弟为红色时
ngx_rbt_black(w); //temp的右兄弟变为黑色
ngx_rbt_red(temp->parent); //temp的父亲变为红色色
ngx_rbtree_left_rotate(root, sentinel, temp->parent); //以temp->parent左旋转
w = temp->parent->right; //新的右兄弟,将会到以下几种情况
}
//算法导论第三版P186中的情况b
//当temp的右兄弟的两个孩子均为黑色时
if (ngx_rbt_is_black(w->left) && ngx_rbt_is_black(w->right)) {
ngx_rbt_red(w); //将右兄弟变为红色
temp = temp->parent; //将以新的temp进行新的一次循环
} else {
//算法导论第三版P186中的情况c
if (ngx_rbt_is_black(w->right)) { //如果右兄弟的右孩子是黑色的
ngx_rbt_black(w->left); //w的左孩子变黑
ngx_rbt_red(w); //w变红
ngx_rbtree_right_rotate(root, sentinel, w); //以w右旋
w = temp->parent->right; //新的右兄弟,直接执行情况c
}
//算法导论第三版P186中的情况d
ngx_rbt_copy_color(w, temp->parent); //右兄弟变成父亲的颜色
ngx_rbt_black(temp->parent); //temp的父亲变黑
ngx_rbt_black(w->right); //右兄弟的右孩子变黑
ngx_rbtree_left_rotate(root, sentinel, temp->parent); //以temp的父亲右旋
temp = *root; //结束,直接指向根结点
}
} else { //与上述情况相反,做对称操作
w = temp->parent->left;
if (ngx_rbt_is_red(w)) {
ngx_rbt_black(w);
ngx_rbt_red(temp->parent);
ngx_rbtree_right_rotate(root, sentinel, temp->parent);
w = temp->parent->left;
}
if (ngx_rbt_is_black(w->left) && ngx_rbt_is_black(w->right)) {
ngx_rbt_red(w);
temp = temp->parent;
} else {
if (ngx_rbt_is_black(w->left)) {
ngx_rbt_black(w->right);
ngx_rbt_red(w);
ngx_rbtree_left_rotate(root, sentinel, w);
w = temp->parent->left;
}
ngx_rbt_copy_color(w, temp->parent);
ngx_rbt_black(temp->parent);
ngx_rbt_black(w->left);
ngx_rbtree_right_rotate(root, sentinel, temp->parent);
temp = *root;
}
}
}
//temp为红色时,直接将temp置为黑色
ngx_rbt_black(temp);
}