【最短路径】：Dijkstra算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法

求最短路径最常用的算法有：
Dijkstra算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法这三个求单源最短路径，最后一个Floyd-Warshall算法可以求多源最短路径也可以求单源路径，效率比较低。
SPFA算法是Bellman算法的队列优化。
Dijkstra算法不能求带负权边的最短路径，而SPFA算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall可以求带负权边的最短路径。
Bellman-Ford算法的核心代码只有4行，Floyd-Warshall算法的核心代码只有5行。

1.最基本的求单源最短路径方法是图的深度优先遍历：

用 min = 99999999 记录路径的最小值，book[i]标记结点 i 是否被访问过~

#include 
using namespace std;
int minn = 99999999;
int book[101];
int n;
int e[101][101];

//cur是当前所在的城市编号，dis是当前已经走过的路程
void dfs(int cur, int dis) {
    if (dis > minn)
        return ;
    if (cur == n) {
        if (dis < minn)
            minn = dis;
        return ;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {//从cur到所有结点依次尝试
        if (e[cur][i] != 99999999 && book[i] == 0) {
            book[i] = 1;
            dfs(i, dis + e[cur][i]);//从i结点出发到其他所有结点依次尝试直到遇到要求的n结点为止
            book[i] = 0;
        }
    }
    return ;
}

int main() {
    int m;
    cin >> n >> m;
    int a, b, c;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (i == j)
                e[i][j] = 0;
            else
                e[i][j] = 99999999;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> a >> b >> c;
        e[a][b] = c;
    }
    book[1] = 1;
    dfs(1, 0);
    cout << minn;
    return 0;
}

2.单源最短路径：Dijkstra算法
dis[i]是需要不断更新的数组，它表示当前结点1(源点)到其余各结点的最短路径长度~
book[i]标记当前结点最短路径是确定值还是估计值~
算法实现的过程是：每次找到离结点1最近的那个点，然后以该结点为中心扩展，最终得到源点到所有点的最短路径~~每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。不过根据这个原理，用Dijkstra求最短路的图不能有负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质~~
找到所有估计值当中最小的值min以及它的结点u，然后把该结点u标记为确定值，通过这个确定值为中转点更新别的所有值的最短路径(松弛别的两个顶点连接的边)

#include 
using namespace std;
int main() {
    // 建立二维数组储存结点和边的信息
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int e[10][10];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (i == j)
                e[i][j] = 0;
            else
                e[i][j] = 99999999;
        }
    }
    int t1, t2, t3;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> t1 >> t2 >> t3;
        e[t1][t2] = t3;
    }
    // dis数组保存结点1其余结点的最短路径
    int dis[10];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dis[i] = e[1][i];
    }
    // book表示dis数组中的内容是估计值还是确定值
    int book[10];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        book[i] = 0;
    }
    book[1] = 1;// book == 0 表示是估计值，book == 1 表示是确定值
    int u = 1, minn;
    //Dijkstra算法核心语句
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
        minn = 99999999;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (book[j] == 0 && dis[j] < minn) {
                minn = dis[j];
                u = j;
            }
        }
        book[u] = 1; //在所有估计值中找到最小的值，把它标记为确定值
        
        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            if (e[u][v] < 99999999) {
                if (dis[u] + e[u][v] < dis[v])
                    dis[v] = dis[u] + e[u][v];
            }
        }//通过这个确定值为中转点更新别的所有值的最短路径(松弛别的两个顶点连接的边)
    }
    
    //print result
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << dis[i] << " ";
    return 0;
}

3.Bellman-Ford算法——解决负权边
算法思想：对所有的边进行n-1次“松弛”操作

核心算法四行：
for (k = 1; k <= n - 1; k++)
    for (i = 1; i <= m; i++)
        if (dis[v[i]] > dis[u[i]] + w[i])
            dis[v[i]] = dis[u[i]] + w[i];
进行n-1轮的原因：在一个含有n个顶点的图中，任意两点之间的最短路径最多包含n-1边。

//检验负权回路
如果在进行最短路径算法后，仍然有可以松弛的边，那么就是存在负权回路
flag = 0;
for (i = 1; i <= m; i++)
    if (dis[v[i]] > dis[u[i]] + w[i])
        flag = 1;
if (flag == 1)
    printf("此图含有负权回路");

如果在新一轮的松弛中数组dis没有发生变化，则可以提前跳出循环
#include 
#include 
//n个结点，m条边
using namespace std;
int main() {
    int dis[10], bak[10], n, m, u[10], v[10], w[10], check, flag;
    int inf = 99999999;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        scanf("%d %d %d", &u[i], &v[i], &w[i]);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        dis[i] = inf;
    dis[1] = 0;
    
    for (int k = 1; k <= n - 1; k++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            bak[i] = dis[i];//将dis数组备份入bak数组中，为了下面的检查是否更新而进行剪枝
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            if (dis[v[i]] > dis[u[i]] + w[i])
                dis[v[i]] = dis[u[i]] + w[i];
        check = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++)
            if (bak[i] != dis[i]) {
                check = 1;
                break;
            }
        // 如果对于所有的结点，dis的值都没有被更新，那就提前跳出循环，说明不需要进行n-1次了
        if (check == 0)
            break;
    }
    //检查是否含有负权回路（可省略）
    flag = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        if (dis[v[i]] > dis[u[i]] + w[i])
            flag = 1;
    if (flag == 1)
        printf("此图含有负权回路");
    else {
        for (int i = 1; i <= n; i++) 
            printf("%d ", dis[i]);
    }
    return 0;
}

4.Bellman-Ford的队列优化(SPFA算法)
每次选取首顶点u，对u的所有出边进行松弛操作~如果有一条u->v的边，通过这条边使得源点到顶点v的路程变短，且顶点v不在当前队列中，就把这个顶点v放入队尾。同一个顶点在队列中出现多次是毫无意义的，所以用一个数组来判重复，判断哪些点已经在队列中。对顶点u的所有出边都松弛完毕后，就将顶点v出队~

#include 
#include 
using namespace std;
int main() {
    int n, m;
    int u[8], v[8], w[8];
    int first[6], next[8];
    int dis[6] = {0}, book[6] = {0};
    int que[101] = {0};
    int head = 1;
    int tail = 1;
    int inf = 99999999;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        dis[i] = inf;
    dis[1] = 0;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        book[i] = 0;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        first[i] = -1;
    
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d %d %d", &u[i], &v[i], &w[i]);
        next[i] = first[u[i]];
        first[u[i]] = i;
    }
    
    que[tail] = 1;
    tail++;
    book[1] = 1;
    
    int k;
    while (head < tail) {
        k = first[que[head]];
        while (k != -1) {
            if (dis[v[k]] > dis[u[k]] + w[k]) {
                dis[v[k]] = dis[u[k]] + w[k];
                if (book[v[k]] == 0) {
                    que[tail] = v[k];
                    tail++;
                    book[v[k]] = 1;
                }
            }
            k = next[k];
        }
        book[que[head]] = 0;
        head++;
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%d ", dis[i]);
    return 0;
}