柯朗微积分与数学分析习题选解(1.1 节 e)

一直在读《陶哲轩实分析》，陶的书非常的严谨，环环相扣，但是也有个缺点就是计算性的例子和应用方面的例子太少了。所以就又找了本柯朗的《微积分与数学分析》搭配着看。柯朗的书的习题与陶的风格完全不同，里面有大量的考察技巧性的习题，有些题相当有难度，第一卷又没有提供习题答案。我试着解了一小部分习题，放到这里，供有需要的同学参考。能力有限，有些题确实搞不定，有些题给的答案可能是错的。所以仅供参考。

柯朗微积分与数学分析习题选解(1.1 节 e)

第四题

两个正数 a ， b 的调和平均值 ε 定义为：

1ε=12(1a+1b)

试证明调和平均值不超过几何平均值。 ε≤ab−−√ 试问两平均值何时相等。

a+b≥2ab−−√a+bab≥2ab−−√12(1a+1b)≥1ab−−√1ε≥1ab−−√ε≤ab−−√

当 a=b 时两平均值相等。

第五题

试导出下列不等式
(a) x2+y2+xy≥0

x2+y2+xy=(x+12y)2+34y2≥0

(b) x2n+x2n−1y+x2n−2y2+⋯+y2n≥0

当 x≠y 时，有

x2n+x2n−1y+x2n−2y2+⋯+y2n=x2n+1−y2n+1x−y>0

当 x=y 时，有

x2n+x2n−1y+x2n−2y2+⋯+y2n=(2n+1)x2n≥0

只有 x=y=0 时

x2n+x2n−1y+x2n−2y2+⋯+y2n=0

(c) x4+3x3+4x2−3x+1≥0

x4+3x3+4x2−3x+1=(x2+32x−1)2+15x44>0

x 取任何值等号都不会成立。

第六题

6 考虑两个向量 A=(a1,a2,a3) 和 B=(b1,b2,b3)
那么有

|A||B|≥|AB|

展开后就是

a21+a22+a23−−−−−−−−−−√b21+b22+b23−−−−−−−−−√≥|a1b1+a2b2+a3b3|

两边平方：

(a21+a22+a23)2(b21+b22+b23)2≥(a1b1+a2b2+a3b3)2

第九题

(a) a2+b2+c2≥ab+bc+ac

a2+b2+c2=12(a2+b2)+12(a2+c2)+12(b2+c2)≥ab+bc+ac

(b) (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

(a+b)(b+c)(c+a)=a2b+ab2+a2c+2abc+b2c+ac2+bc2≥2abc+6a2b×ab2×a2c×b2c×ac2×bc2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√6=8abc

(c) a2b2+b2c2+a2c2≥abc(a+b+c)

a2b2+b2c2+a2c2=12(a2b2+b2c2)+12(a2b2+a2c2)+12(a2c2+b2c2)≥abc(a+b+c)

第十题

a11x21+a12x1x2+⋯+a33x23≥≥≥(a11+a12+a21+a31+a132)x21+(a11+a12+a21+a32+a232)x22+(a11+a32+a23+a31+a132)x233M(x21+x22+x23)3M

第十一题

∑i=1n(ai−bi)2=∑i=1na2i+∑i=1nb2i−2∑i=1n(aibi)≤∑i=1na2i+∑i=1nb2i+2∑i=1na2i−−−−−√∑i=1nb2i−−−−−√=⎛⎝∑i=1na2i−−−−−√+∑i=1nb2i−−−−−√⎞⎠2

所以：

∑i=1n(ai−bi)2−−−−−−−−−−√≤∑i=1na2i−−−−−√+∑i=1nb2i−−−−−√

n≤3 时表示的是三角形一边的边长小于另外两边边长之和。

第十二题

因为：

∑i=1naibi≤∑i=1na2i−−−−−√∑i=1nb2i−−−−−√∑i=1naici≤∑i=1na2i−−−−−√∑i=1nc2i−−−−−√⋯∑i=1naizi≤∑i=1na2i−−−−−√∑i=1nz2i−−−−−√⋯∑i=1nyizi≤∑i=1ny2i−−−−−√∑i=1nb2i−−−−−√

所以：

∑i=1naibi+⋯+∑i=1nyizi≤∑i=1na2i−−−−−√∑i=1nb2i−−−−−√+⋯+∑i=1ny2i−−−−−√∑i=1nz2i−−−−−√

所以：

∑i=1na2i+⋯+∑i=1nz2i+2(∑i=1naibi+⋯+∑i=1nyizi)≤∑i=1na2i+⋯+∑i=1nz2i+2⎛⎝∑i=1na2i−−−−−√∑i=1nb2i−−−−−√+⋯+∑i=1ny2i−−−−−√∑i=1nz2i−−−−−√⎞⎠

所以：

(a1+⋯+z1)2+⋯+(an+⋯+zn)2≤(a21+⋯+a2n−−−−−−−−−−√+⋯+z21+⋯+z2n−−−−−−−−−−√)2

所以：

(a1+⋯+z1)2+⋯+(an+⋯+zn)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≤a21+⋯+a2n−−−−−−−−−−√+⋯+z21+⋯+z2n−−−−−−−−−−√

第十三题

这道题以前做过，解答过程在这里。
http://blog.csdn.net/liyuanbhu/article/details/47057393