SymPy:符号运算库介绍 （2）

1.6 三角函数

• trigsimp()函数用来化简表达式中的三角函数，method参数用来设定化简算法，例如，化简下式：
  

In [10]: trigsimp(sin(x)**2+2*sin(x)*cos(x)+cos(x)**2)
Out[10]: sin(2*x) + 1

• expand_trig()函数用来展开三角函数的表达式：

In [11]: expand_trig(sin(2*x+y))
Out[11]: (2*cos(x)**2 - 1)*sin(y) + 2*sin(x)*cos(x)*cos(y)

1.7 expand()函数的应用

expand()有一些特殊的标志参数：

• complex :展开复数的实部与虚部

In [12]: x,y=symbols("x,y",complex=true)
In [13]: expand(x*y,complex=true)
Out[13]: re(x)*re(y) + I*re(x)*im(y) + I*re(y)*im(x) - im(x)*im(y)

• func:对一些特殊函数进行展开

In [14]: expand(gamma(1+x),func=true)
Out[14]: x*gamma(x)

• trig:展开三角函数

In [15]: expand(sin(x+y),trig=true)
Out[15]: sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x)

1.8 表达式

• factor():因式分解

In [16]: factor(15*x**2+2*y-3*x-10*x*y)
Out[16]: (3*x - 2*y)*(5*x - 1)

• collect():收集表达式中指定符号的有理指数次幂的系数。
  例，获取表达式eq中x的各次幂的系数。

In [18]: a,b,x=symbols("a,b,x")
In [19]: eq=(1+a*x)**3+(1+b*x)**2 #先进行展开，再进行collect操作
In [20]: collect(expand(eq),x)
Out[20]: a**3*x**3 + x**2*(3*a**2 + b**2) + x*(3*a + 2*b) + 2

此外，collect也可以收集表达式的系数，下面的代码收集了sin(2x)的系数：

In [21]: collect(a*sin(2*x)+b*sin(2*x),sin(2*x))
Out[21]: (a + b)*sin(2*x)

1.9 方程

SymPy可以直接表示值为0的方程，也可以使用Eq()创建方程。

• 利用 solve()求解一元二次方程

In [25]: a,b,c=symbols("a,b,c")
In [26]: solve(a*x**2+b*x+c,x)
Out[26]: [(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)]

• 可以传递包含多个表达式的元组或列表来让solve()求解方程，每个元组表示方程的一组解：

In [28]: solve((x**2+x*y+1,y**2+x*y+2),x,y)
Out[28]: [(-sqrt(3)*I/3, -2*sqrt(3)*I/3), (sqrt(3)*I/3, 2*sqrt(3)*I/3)]

• roots()函数计算单变量多项式的根：

In [29]: roots(x**3-3*x**2+x+1)
Out[29]: {1: 1, -sqrt(2) + 1: 1, 1 + sqrt(2): 1}

1.10 微分

• Derivative是表示导函数的类，包括两个参数，第一个是求导的表达式，第二个参数是求导的变量。Derivative得到的是一个导函数，并不会进行求导运算。可以调用doit()方法进行求导：

In [30]: t=Derivative(sin(x),x)
In [31]: t  #返回导函数，并不会进行求导运算
Out[31]: Derivative(sin(x), x)
In [32]: t.doit() #运用doit方法进行求导
Out[32]: cos(x)

• 也可以直接使用diff()函数进行求导：

In [33]: diff(sin(2*x),x)
Out[33]: 2*cos(2*x)

• 求高阶导数。例如，对sin(xy)的x变量求二阶导，y变量求三阶导。

In [34]: diff(sin(x*y),x,2,y,3)
Out[34]: x*(x**2*y**2*cos(x*y) + 6*x*y*sin(x*y) - 6*cos(x*y))

另一种实现方式：

In [36]: Derivative(sin(x*y),x,2,y,3).doit()
Out[36]: x*(x**2*y**2*cos(x*y) + 6*x*y*sin(x*y) - 6*cos(x*y))