矩阵L2,1范数及矩阵L2,p范数的求导

常见的矩阵范数有L1，L2， ∞ 范数，F范数和引申出的L2,1范数。而在机器学习的特征选择中，利用选择矩阵的范数对选择矩阵进行约束，即是正则化技术，是一种稀疏学习。

L0 ， L1 向量范数

• L0 范数

  L0 范数是指向量 v 中的非0的个数，是一种度量向量稀疏性的表示方法。例如： v=[0,1,1,0,0,1] ，那么 ∥v∥0=3 。

• L1 范数
  L1 范数是向量中元素的绝对值之和，即 ∥v∥1=∑ni=1|vi| ，也描述了向量的稀疏性。
  

  
  

从图中可以看出， p 的取值在 [0，1) 之间时，范数不具有凸性。在实际的优化中，是无法进行优化的，因此，一般会将 L0 范数转化为 L1 范数，或者是其他可优化的范数。

矩阵的 L1 范数

为了度量稀疏矩阵的稀疏性，则定义矩阵的一种范数，为：

∥W∥1=∑i,j|Wi,j|

即为矩阵所有元素的绝对值之和，能够描述接矩阵的稀疏性，但是在优化时，难度较大，是将情况向矩阵中元素尽可能是0的方向优化。

矩阵的 L2,1 范数

而为了进一步说明矩阵的稀疏性，来说明特征选择中矩阵 L2,1 范数的作用。

在特征选择中，通过稀疏化的特征选择矩阵来选取特征，即相当于是一种线性变换。

矩阵 L2,1 范数的求导

对于特征选择矩阵 W ，每一行（即行向量）用向量的2-范数描述，即 wi=∑j|Wi,j|2−−−−−−−−√ 。那么，描述化之后即为向量 w=[w1,w2,⋯,wd]T ，那么对整个选择矩阵 W 还需要用范数对 w 进行描述，因为损失函数中的正则项，或称为正则化的项是一个数，而不是一个向量。因此再用1-范数对 w 描述，即是 W 的 L2,1 范数。

∥W∥2,1=∥w∥1=∑i=1d∑j=1n|Wi,j|2−−−−−−−−⎷

这便是矩阵的 L2,1 范数的实际描述过程。矩阵的 L2,1 范数满足矩阵范数的自反性、非负性、对称性和三角不等式关系，是一个范数，这里不予证明。

那么，在线性学习模型，损失函数如：

minW,b∥XW+enbT−Y∥2F+λ∥W∥2,1

在优化中，矩阵的范数该如何求导？关于矩阵的F范数求导，可以参考 矩阵的 Frobenius 范数及其求偏导法则。而矩阵 L2,1 范数求导如下推导：
首先，先证明一个向量求导的问题,其中 x={x1,x2,…,xn} , 而已知求导

dxxT=x1dx1+⋯+xndxn(x21+⋯+x2n)12=xdxT(xxT)12

那么，可得向量的求导为

dxxTdx=x(xxT)12=x∥x∥2

而对于一个矩阵 W=[w1,⋯,wd]T , 其中 wi 是 W 的第 i 行。由矩阵的定义有

∥W∥2,1=∥w∥1=∑i=1d∥wi∥2=∑i=1d(wiwiT)12

那么：

∂∥W∥2,1∂W=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜∂(∑i=1d∥wi∥2)∂wj⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟d×1=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜∂(∑i=1d(wiwiT)12)∂wj⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟d×1=(wj∥wj∥2)d×1=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1∥w1∥21∥w2∥2⋱1∥wd∥2⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜w1w2⋮wd⎞⎠⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1∥w1∥21∥w2∥2⋱1∥wd∥2⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟W=ΣW

这即是矩阵 L2,1 范数的求导结果。

矩阵一般化 L2,P 范数的求导

而向老师就矩阵一般化 L2,P 范数给出了推导，如下：

关于矩阵的求导，是机器学习的一个数学难点，需要好好积累数学理论知识！