几种最短路径算法简介（一）

1.Bellman-Ford算法：

Bellman-Ford算法基于一个直观上很容易理解的原理：如果节点A的每个相邻节点知道节点Z的最短路径，那么节点A计算经过它的每个相邻节点到节点Z的距离，就能够确定到节点Z的最短路径。

如图，应用Bellman-Ford算法来计算每个节点到节点6的最短路径，以及此最短路径的下一个节点。每个节点维护着一个表项（n,Di),其中n是此最短路径经过的下一个节点，Di是到目的节点的距离。算法执行过程如下：

迭代	节点1	节点2	节点3	节点4	节点5
初始	（-1，∞）	（-1，∞）	（-1，∞）	（-1，∞）	（-1，∞）
1	（-1，∞）	（-1，∞）	（6,1）	（-1，∞）	（6,2）
2	（3,3）	（5,6）	（6,1）	（3,3）	（6,2）
3	（3,3）	（4,4）	（6,1）	（3,3）	（6,2）
4	（3,3）	（4,4）	（6,1）	（3,3）	（6,2）

1）初始时，除了节点6知道到自身的距离为0外，其余节点均不知道下一个节点以及到目的节点6的距离，故初始值均为（-1，∞）。

2）第1次迭代，节点6的相邻节点3和5发现其相邻节点到目的节点6的最短路径，故更新节点3和节点5的表项，其余仍为（-1，∞）。

3）第2次迭代，节点1发现其相邻节点3到目的节点的距离为3，故更新其自身表项为（3,3），注意节点4发现其两个相邻节点都有到目的节点的最短路径信息，经过比较选择经过节点3的路径。其余节点同理检查更新。

4）第3次迭代，节点2发现经过节点4到目的节点的路径更短，故更新其表项，其余节点同理。

5）第4次迭代，没有节点更新，算法结束。

因此我们将Bellman-Ford算法总结如下：

1）初始化：除了目的节点，其余节点表项均为（-1，∞）。

2）检查更新：各节点检查其相邻节点表项，如果经过其相邻节点到目的节点的距离小于其当前表项里的Di，则更新表项。

3）重复步骤2)，直至节点表项均不变化。

2.Dijkstra算法：

Dijkstra算法是一种查找从源节点到其它所有节点最短路径的算法。该算法维护一个节点集合N，N由那些已经确定的到源节点最近的节点组成。在每次迭代中，把离源节点最近的节点加入N，并计算通过该节点到其余节点的距离。

我们仍以上图为例看一下Dijkstra算法的执行过程：

迭代	N	D2	D3	D4	D5	D6
初始化	{1}	3	2	5	∞	∞
1	{1,3}	3	2	4	∞	3
2	{1,2,3}	3	2	4	7	3
3	{1,2,3,6}	3	2	4	5	3
4	{1,2,3,4,6}	3	2	4	5	3
5	{1,2,3,4,5,6}	3	2	3	5	3

1）初始化：将源节点1加入集合N,与源节点1相邻的节点初始值为到节点1的距离，其余节点初始值为∞。

2）第1次迭代：检查不在集合N的其余节点到源节点1的最短路径，选择距离最小的那个节点，加入集合N，这里选择节点3。计算通过节点3到源节点的最短路径，若比当前值小，更新最短路径，这里节点4通过节点3到源节点的最短路径为4，你原来小，故更新。同理，节点6也更新。

3）第2次迭代：重复上述过程，这里节点2和节点6到源节点最短距离相等，随机选择一个加入N，这里选择节点2.。更新其余节点。

4）第3次迭代：重复上述过程，将节点6加入N,更新其余节点。

5)第4次迭代：重复上述过程，将节点4加入N,更新其余节点。

6）第5次迭代：将节点5加入集合N,完成算法。

因此，我们将Dijkstra算法总结如下：

1）初始化：将源节点加入集合N，与源节点相邻的节点初始值为到节点的距离，其余节点初始值为∞。

2）检查不在集合N的其余节点到源节点的最短路径，选择距离最小的那个节点，加入集合N，计算其余节点通过该节点到源节点的最短路径，若比当前距离小，则更新。

3）重复步骤2），直至所有节点都在集合N中。