leetcode 72. 编辑距离(动态规划)

题目：

给定两个单词 word1 和 word2，计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

1. 插入一个字符
2. 删除一个字符
3. 替换一个字符

示例 1:

输入: word1 = "horse", word2 = "ros"
输出: 3
解释: 
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2:

输入: word1 = "intention", word2 = "execution"
输出: 5
解释: 
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

思路：

如果没有替换，只是简单的增加和删除的话，那么可以用一个最长公共子序列去做，找到最长的公共字串，然后用len1+len2-2*公共子序列长度。

然而这里有替换，有替换的话，情况就发生了变化，因为有时候替换一个比的上添加或删除两个。

定义状态：dp[i][j]:第一个串的第i个位置与第二个串的第j个位置之前需要操作几次达到相等。

之后，如果word1[i] = word2[j]，如果相等的话，那么就不用替换，也不要增删，操作次数直接等于dp[i-1][j-1]。

如果不等于：那么就有三种情况，一种是删删第一个串一个字符到状态dp[i-1][j]，第二中是删第二个串一个字符到dp[i][j-1]，第三种是替换一个字符使得两个字符相等。这三种操作都只进行一次。

那么转移方程为：dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]))+1;

有一个错误的认识就是，如果一个长串和一个短串比较，如果删只能删当前较长的串，这种认识是错误的，举个例子：

sma和uism,对这种情况，显然必须删除短串的最后一个字符，因为它碍着sm的匹配了。

详细代码：

class Solution {
public:
int dp[1005][1005];

int minDistance(string word1, string word2) {
    int len1 = word1.length();
    int len2 = word2.length();
    for(int i=0;i<=len1;i++)dp[i][0] = i;
    for(int j=0;j<=len2;j++)dp[0][j] = j;
    for(int i=1;i<=len1;i++){
        for(int j=1;j<=len2;j++){
            if(word1[i-1]==word2[j-1])dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
            else {
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]))+1;
            }
        }
    }
    return dp[len1][len2];
}
};