三角形内切圆 / 外接圆半径计算公式及证明总结 ~

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------------------------------------我只是一条可爱哒分界线--------------------------------------

 

（一）三角形内切圆

 

1.  半径计算公式：

 

公式一：

1）公式：r = (a+b-c) / 2.0

2）证明：

设Rt△ABC中，∠C＝90度，BC＝a，AC＝b，AB＝c
证明方法一般有两种：
方法一：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OD＝OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r
所以AD＝b－r，BE＝a－r，
因为AD＝AF，CE＝CF
所以AF＝b－r，CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r
所以b－r＋a－r＝r
内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c
方法二：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE、OF，OA、OB、OC
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB
所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB
所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2
所以r＝ab/(a＋b＋c)
＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)
＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]
因为a^2＋b^2＝c^2
所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c

 

公式二：

1）公式： r = 2.0*S / (a+b+c)

2）证明：式中S是三角形的面积，(a+b+c)是三角形的周长。

2*S = S△OBC + S△OCA + S△OAC = a*r + b*r + c*r

移项化简即为 r = 2.0*S / (a+b+c)

 

公式三：

1）公式： r = sqrt ( ( (p-a)*(p-b)*(p-c) / p ) )

2）证明：

已知三角形三边 a,b,c,求其内切圆半径 r；

已知海伦公式：S = √（p*(p - a)*(p - b)*(p - c)）；

已知：p = (a + b + c) / 2.0，S = p*r；

得：r = S / p；

所以：r = √ ( (p-a)*(p-b)*(p-c) / p ) ；

 

2. 相关概念：

1）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2）圆心叫做三角形的内心。

3）三角形叫做圆的外切三角形。

4）三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

5）三角形一定有内切圆且内切圆圆心定在三角形内部。

 

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（二）三角形外接圆

 

1.  半径计算公式：

1）公式：R = (a*b*c) / (4.0*s)

2）证明：式中a，b，c分别为三角形的三边，S为面积。

R = ( a*b*c ) / (4.0*S)

R = ( ¼ *a*b*c ) / √ [ p*(p-a)*(p-b)*(p-c) ]

R = ( a*b*c ) / √ [ (a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c) ]

 

2.相关概念：

1）与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。

2）三角形有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。

3）三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点。

4）三角形外接圆圆心叫外心。

 

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（三）r，R，S之间的关系

 

关系公式：r*R = ( S / p ) * ( ( a*b*c ) / ( 4.0*S ) ) = ( a*b*c ) / [ 2.0*(a+b+c) ]

 

 

-------------------------------------我也是有底线的--------------------------------------

 

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