【笔记】网络流——从入门到疏散

数模时现学的网络流，当时忘了发

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网络流初步

参考资料：紫书11.4

最大流

1. 想要把一些东西从s（源点）运到t（汇点），可以从中间节点中转。
2. 对于一条边，物品上限称为容量$c$，实际运送的物品称为流量$f$
3. 基本性质：
   1. 容量限制：$f(u,v)<=c(u,v)$
   2. 斜对称性：$f(u,v)=-f(v,u)$
   3. 流量平衡：除s和t外的任意节点u,v，${\Sigma }_{u,v\in E}f(u,v)=0$
4. 最大流问题目标：
   最大化$|f|={\Sigma }_{s,v\in E}f(s,v)={\Sigma }_{u,t\in E}f(u,t)$，即从s流出的净流量。

增广路算法

1. 每条边上容量与流量之差称为残量。有向残量边（正反都有）组成的图称为残量网络。
2. 残量网络中任何一条从s到t的有向道路都对应一条原图中的增广路。只要求出道路中所有残量的最小值d，把对应的所有边上流量增加d即可，这个过程称为增广。
3. 当且仅当残量网络中不存在s-t有向道路（增广路）时，此时的流是从s到t的最大流。
4. 找路径的Edmonds-Karp算法，每次使用bfs增广。

最小割最大流定理

1. 最小割问题：把所有定顶点分成两个集合，成为一个割。两个集合间的边权和（称为容量）最小的割称为最小割。
2. 如果s和t分别在两个集合S和T中，那么S和T组成的割叫做s-t割。记它的容量为$c(S,T)$
3. 对于任意s-t流f和任意s-t割（S，T），有$|f|\le c(S,T)$.
4. 在增广路算法结束时，把已标号节点看成S，T=V-S，则f是s-t最大流，(S,T)是s-t最小割，且$|f|=c(S,T)$，即最小割等于最大流。

最小费用最大流

1. 每条边除了容量限制外还有一个单位流量所需的费用。
2. 需要考虑平行边。
3. 简单算法：找到初始最小费用可行流，每次用Bellman-Ford增广后的新流都是新流量下的最小费用流。

网络流

参考资料：蓝书5.6

最短增广路算法

1. 每次沿着最短增广路（边数最少的增广路）进行增广，最多只需要$O(nm)$次增广。
2. 效率取决于每次查找最短增广路的效率，Edmonds-Karp算法使用bfs查找，每次$O(m)$，总时间复杂度$O(n{m}^2)$
3. 实现-弧数据结构

   Edge{
   	int from, to, cap, flow;
   }
   

   表示一条从from到to，容量为cap，流量为flow的弧。当且仅当flow 当cap为0时，意味着此边是反向弧，此时flow<=0;

   void addEdge(int from,int to,int cap)
   {
   	edges.push_back(Edge({from,to,cap,0}));
   	edges.push_back(Edge({to,from,0,0}));
   	m = edges.size();
   	G[from].push_back(m-2);
   	G[to].push_back(m-1);
   }
   

   原图中的一条弧对应于两个Edge，且相异或的项或为反向弧。

Dinic算法

1. 使用BFS构造层次图，使用阻塞流增广。
2. 层次图：包括残量网络中节点以及所有满足dist(u)+1=dist(v)的边u,v。层次图中每一条路径都是s-t最短路。
3. 阻塞流：不考虑反向弧时的“极大流”，即在层次图中dfs找到一条路就增广。
4. 时间复杂度：最多计算n-1次阻塞流，每次计算时间不超过$O(mn)$，总时间复杂度$O(n^{2}m)$，实际远小于这个界。

ISAP算法

留坑

最小费用最大流算法

代码留坑

网络流模型

1. 多源多汇问题：多个源点多个汇点，流可以从任意源流出流向任意汇，总流量为所有源流出的总流量之和。
   添加超级源点s’与超级汇点t’，从s’向每个源引一条有向弧，每个汇向t’引一条弧，容量均为无穷大。
2. 节点容量：每个节点都有允许通过的最大流量。
   把每个节点u分裂成两个节点u1和u2，中间连一条容量等于节点容量的有向弧。把u的入弧连到u1，出弧从u2开始。
3. 无源无汇有容量下界网络的可行流：留坑。
4. 有容量下界网络的s-t最大/最小流：留坑。
5. 费用与流量平方成正比的最小费用最大流：留坑。
6. 流量不固定的s-t最小费用流：留坑！

单源多出口建筑物突发事件应急疏散模型和算法

问题假设

1. 多个出口，每个出口有容量限制。（这应该连一条到超级汇的边就行吧）
2. 每段弧有容量限制
3. 待疏散人员在各条弧上具有平均的步行速度，即每条弧上的行走时间取决于路径长度

符号

1. G(V,E)-疏散网络；V-节点集；E-弧集；
2. $t_{ij}$表示经过弧$e_{ij}的所需时间$；$c_{ij}$-弧$e_{ij}单位时间内的最大容量$；
3. $x-人员总数$；
4. $D{C}_k-第k个出口单位时间内允许通过的最大容量$；
5. 等等