#149. 01 分数规划

为什么不能根据性价比贪心？很明显是对的啊？

这样想就行了，假设现在要选一样新物品：也许\(A\)的性价比很小或者就是\(0\)，但是它的体积却也十分微小，对总体影响也微不足道；也许\(B\)的性价比较大但是它的体积非常非常大，干脆想象成无限好了，这样总体的性价比也就极其接近\(B\)了，影响很大。此时显然前者更优。既然局部最优解都保证不了还谈什么全局最优解呢？

这就需要引入二分（二分最大值）了。不妨换一种思路贪心：当我们确定了某个分数后，每样物品都有了它独自的贡献。显然，这个贡献可正可负，表示在满足当前分数后，对答案额外的价值贡献。排序后选贡献多的就行。

举个栗子：现在二分出分数是\(2\)，过来一样物品，价值为\(9\)，体积为\(4\)，那么它的贡献就是\(9-2*4\)（\(2*4\)是刚好满足分数的价值，那么现在多出来\(1\)的价值）。另一个物品价值为\(3\)，体积为\(2\)，那么它的贡献就是\(3-2*2\)（\(2*2\)是刚好满足分数的价值，那么现在少下来\(1\)的价值，多出来\(-1\)的价值）。

其实可以类比比例的性质，我们有比例系数\(k\)，将数值用\(k\)表示出来，带入再消去\(k\)，整体的比值是不会变化的。

好了吗？不，如果听到这里你就觉得是完全对的话，那说明你还没有深入地理解这个做法（我觉得叫成算法不太妥当，毕竟用的都是现成的），还是犯了最初贪心的毛病，这样取依旧不会是最优。但是这样取绝不会使得可行的解变得不可行。因为你能取正数就取正数，不到负数就肯定满足；因为你取的负数也是当前最小，能抵消掉就肯定抵消掉。相当于是忽略掉数值的大小。也就是说，随着二分的进行，你的解也会越来越优。因为随着解越来越变得难以可行，你的贪心也变得越来越正确。最终的答案带入你的贪心在这个数据中肯定是正确的。这也是二分的单调性所在啊。

简单来说，就是选取\(k\)个数，使它们的和大于等于\(0\)。

这让我们对贪心有了一个更广泛的认识，还有这种操作。也许你的贪心在局部会失误，但结合一些方法多次贪心，使得贪心的范围更加精准（在\(01\)分数规划中的体现就是一定可以判断可行性）。当然正负也起到了很大的作用。