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简单的数学题
题目描述
输入一个整数n和一个整数p，你需要求出
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (i\cdot j\cdot gcd(i,j))\ mod\ p\]
其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数
输入
一行两个整数\(p,n\)
输出
一行一个整数，为题目中所求值
样例
样例输入
998244353 2000样例输出
883968974数据范围
\(n\leq 10^{10}\)
\(5\times 10^8 \leq p \leq 1.1\times 10^9\)
\(p\)为质数（但貌似也可以不是？又不用求逆元）
题解
自己想出来的题！但是连\(WA\)两发就是因为杜教筛写挂了……
先不考虑取余，我们化一下题目中的式子，枚举\(gcd\)（警告！多公式）。
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n i\cdot j\cdot gcd(i,j)\]
\[\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}[i\perp j]i\cdot j \cdot d^2\]
\[\sum_{d=1}^{n}d^3\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}[i\perp j]i\cdot j\]
\[\sum_{d=1}^{n}d^3\sum_{p=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\mu(p)p^2\cdot \Big(\frac{(1+\left\lfloor \frac{n}{dp}\right\rfloor)\left\lfloor \frac{n}{dp}\right\rfloor}{2}\Big)^2\]
额，现在可以使用分块优化做到\(O(n)\)了，但是这完全不能胜任数据范围，我们换个角度，设\(dp=T\)，枚举\(T\)会有什么结果？
\[\sum_{T=1}^{n}\Big(\frac{(1+\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor)\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor}{2}\Big)^2\sum_{d|T}d^3\cdot \mu(\frac{T}{d})(\frac{T}{d})^2\]
\[\sum_{T=1}^{n}\Big(\frac{(1+\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor)\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor}{2}\Big)^2 T^2\sum_{d|T}d\cdot \mu(\frac{T}{d})\]
现在好像反而变成\(O(n\log n)\)或\(O(n\sqrt{n})\)了，别急，我们看看第二层的求和的意义——狄利克雷卷积，这是\(Id\)函数与\(\mu\)函数的狄利克雷卷积，其值就等于\(\varphi\)。
\[\sum_{T=1}^{n}\Big(\frac{(1+\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor)\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor}{2}\Big)^2 T^2\varphi(T)\]
现在，我们只需要快速求出一个东西即可——\(T^2\varphi(T)\)，前面的部分可以分块优化，我们急需解决的就是这个函数\(f(T)=T^2\varphi(T)\)的前缀和\(F(T)\)。显然，这是一个积性函数。
杜教筛的公式：
\[\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)\cdot g(\frac{i}{d})=\sum_{i=1}^{n}g(i)\sum_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{i}\right\rfloor}f(j)\]
于是我们需要一个函数与\(f\)卷起来，我们根据套路或枚举发现\(T^2\)项很恼人，于是尝试把这一项消掉，于是想到了\(g(x)=x^2\)。
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d^2\varphi(d)\cdot (\frac{i}{d})^2=\sum_{i=1}^{n}i^2\sum_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{i}\right\rfloor}f(j)\]
\[\sum_{i=1}^{n}i^2\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{i=1}^{n}i^2F(\left\lfloor \frac{n}{i}\right\rfloor)\]
根据公式\(\sum_{d|i}\varphi(d)=i\)，继续变形
\[\sum_{i=1}^{n}i^3=F(n)+\sum_{i=2}^{n}i^2F(\left\lfloor \frac{n}{i}\right\rfloor)\]
\[F(n)=\sum_{i=1}^{n}i^3-\sum_{i=2}^{n}i^2F(\left\lfloor \frac{n}{i}\right\rfloor)\]
由于\(p(i)=i^3\)和\(q(i)=i^2\)的前缀和都有公式，我们可以对右边进行分块优化，就可以杜教筛了！这道题圆满解决，时间复杂度\(O(n^{\frac{2}{3}})\)。
不过有些小细节要注意，比如模数乘\(2\)可能会爆\(int\)，\(n^2\)可能会爆\(long\ long\)，需要先取模再平方
\(Code:\)
#include