二维透视投影变换

如下图，位于XY平面的单位正方形投影到任意平面P上后，变成了不规则的四边形ABCD，我们能根据正方形的四个顶点投影前后的坐标，计算出平面XY上任意点 （x,y) 投影到平面P 上之后的坐标 （x', y') 吗？

我们注意到正方形的四个边投影到平面P之后，分别变为线段AB，BC，CD，DA，也就是说投影前位于一条直线上的点，投影后仍然位于一条直线上，对于直线来说，这种变换是线性的；但投影前平行的两条直线，投影后不再平行，对于平面而言，这种变换不是线性的。不过，虽然这种变换不能表示成线性变换，但可以表示成两个线性变换相除，于是就有了齐次坐标，

齐次坐标的好处是，可以把投影变换转化成线性变换，从而使用矩阵运算来对问题求解。

使用齐次坐标，可以有以下变换

写成方程式表达：

x' = Ax + By + Cw

y' = Dx + Ey + Fw

w'= Gx + Hy + Iw

其中 （x,y,w) 是变换前的坐标，（x',y',w')是变换后的坐标，(A B C ...)是变换矩阵

根据上面的讨论，我们已知四边形四个顶点变换前后的二维坐标，每个点可以写出三个方程式，总共有12个方程式，而变换矩阵共有9个未知数，再加上变换之后的坐标w也是未知数，总共有13个未知数，于是这个方程组有无限多组解，但是在投影平面上，每个点的齐次坐标本身就可以有无数个表达，我们只要把w规则化为1，就可以求出x, y

根据仿射变换理论，系数C，F表示变换前后的原点位移（平移变换），为了简化计算，我们假定C，F都等于0（即变换前后原点没有位移），并且把系数I 调整成1，于是有

其中 p是比例因子

写成方程式

px' = Ax + By                     (1)

py' = Dx + Ey                     (2)

p   = Gx + Hy + 1               (3)

用式3消去式1和式2中的p，就得到2个方程式

 Ax + By - Gxx' - Hyx' = x'      （4）

 Dx + Ey - Gxy' - Hyy' = y'       (5 )

我们假定由点（0，0）（1，0）（0，1）（1，1）四个点组成的单位正方形区域映射到目标平面后的坐标分别是 (0,0) (x1',y1') (x2', y2') (x3', y3'),  原点（0，0）映射到 （0，0）不在计算之列，把其它三个点分别代入式（4），式（5），一共得到六个方程式

A - Gx1'  =  x1'                               (6)

B - Hx2'  =  x2'                               (7)

A + B - Gx3' - Hx3' = x3'               (8)

D - Gy1'  =  y1'                               (9)

E - Hy2'  =  y2'                               (10)

D + E - Gy3' - Hy3' = y3'              (11)

把式（6）（7）（10）（11）变换，得到

A = x1’ + Gx1’                            （12）

B = x2’ + Hx2'                            （13）

D = y1’ + Gy1’                           （14）

E = y2’ + Hy2'                            （15）

然后代入式（8）（11），得到

x1' + Gx1' + x2' + Hx2' - Gx3' - Hx3' = x3'

y1' + Gx1' + y2' + Hy2' - Gy3' - Hy3' = y3'

整理后为

G(x3' - x1') + H(x3' - x2') = x1' - (x3' - x2')

G(y3' - y1') + H(y3' - y2') = y1' - (y3' - y2')

令 dx31 = x3' - x1'

dx32 = x3' - y2'

dy31 = y3' - y1'

dy32 = y3' - y2'

从以下 开始，为书写方便，去掉了x,y后面的撇号

dx31G + dx32H = x1 - dx32

dy31G + dy32H = y1 - dy32

求解此方程

系数矩阵 M =

dx31 dx32

dy31 dy32

det(M) = dx31dy32 - dy31dx32

逆矩阵M-1 = 1 / det（M）*

dy32  -dx32

-dy31 dx31

于是G * det(M) = dy32 * (x1 - dx32) - dx32 * (y1 - dy32)  

                                   = x1 * dy32  - dx32 * dy32 - y1 * dx32 + dx32 * dy32 

                                   = x1 * dy32 - y1 * dx32

H * det(M) = -dy31 * (x1 - dx32)  + dx31 * (y1 - dy32)

注意到x1 - dx32 = x2 - dx31, y1 - dy32 = x2 - dy31, 于是

 

               H * det(M)   = -dy31 *(x2 - dx31) + dx31 *(y2 - dy31)

                                    = -x2*dy31 + dy31*dx31 + y2*dx31 - dx31*dy31

                                    = y2*dx31 - x2 * dy31

把 G，H 分别代入（12）（13）（14）（15）

就可以求出A，B，C，D

A =  x1 * (1 + G)

B = x2 * (1 + H)

D = y1 * (1 + G)

E = y2 * ( 1 + H)

这样就求出了变换矩阵的全部系数。