Dantzig-Wolfe分解

适用场景

Dantzig-Wolfe分解的适合用于求解一些具有特定结构的LP & MILP

原始问题

其中，第一个等式约束为conflicting constrain，剩余的约束都是独立的blocks。

Minkowski-Weyl’s representation theorem

采用这一定理，可以将多面体中的任意一个点都用多面体的extreme points及extreme rays表达

 

利用上面的定理重新表达x，就可以将原始问题转换为下面的形式：

在这个形式中，变量数目大大增加，但是约束数目有一定程度减小（不再需要原来x属于某个多面体的约束）

master problem

Master probelm的对偶问题

由于大部分变量的值都可能为0，因此可以只选择一部分变量构建优化问题（此时变量数目就可以大大减少，且未选择的变量的值看做是0），就得到了下面的restriced master problem：

Restricted Master probelm

1.为什么求解子问题（RMP）就可以求解出原问题？

----由于RMP的目标函数值是原问题的目标函数的上界，因此最小化RMP也就可以逐步缩小原问题的上界，逐渐逼近原问题的解。

2.当求出子问题RMP的primal solution（lambda）及dual solution（pi）时，如何得到原问题的解？

----由于RMP相当于将原问题MP中的一些变量取为0，因此，将lambda补上一些0之后（补0的数目等于不在RMP中的原问题的变量个数）得到的lambda*，对原问题同样可行。也就是说子问题的primal solution对于原问题可行。

若子问题的dual solution（pi）对于原问题的对偶问题也可行的话，就证明存在一个primal solution及dual solution，使得原问题（MP）及原问题对偶问题（DMP）均可行，则得到原问题的最优解。因此，接下来主要需要检查，子问题的dual solution（pi）对于原问题的对偶问题是否可行？

若想知道某个解pi对于原问题的对偶问题是否可行，只需要证明原问题的所有变量在这个解处计算出的reduced cost均大于等于0。当出现某个变量的reduced cost小于0，则说明这个解对于原问题的对偶问题不可行。就将这个变量加入到subproblem中。

若所有变量的reduced cost都大于等于0，则说明解pi对于原问题的对偶问题也可行，由于lambda*对于原问题已经可行，此时就可以得到lambda* 与 pi分别是原问题及原问题对偶问题的最优解。