KMP算法详解

概念

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现，因此人们称它为克努特——莫里斯——普拉特操作（简称KMP算法）。KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个next()函数，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。

原理

接下来我们先分析三张图，S代表主串，T代表模式串。
当主串S[i]与子串T[j]失配时，i不回溯，仅j回溯到一个尽量“偏右”的位置k。因此 KPM算法的核心问题是寻找确定$k=next[j]$的方法。
(I)
(II)
(III)
由 (I) ，(II)，和 (III) 我们得到：
T[0 … k-1] = T[j-k … j-1] ＝ T[0 … next[j]-1]
因此得到k = next[j]的定义(注意下标范围)

以上定义也说明next[j]与主串S无关。
next[j]函数举例

代码

kmp算法：

void kmp(int *S, int *T) {
    int i = 0, j = 0;
    getnext(T, next);
    while (i < n) {
        if (j == -1 || S[i] == T[j]) {
            i++;
            j++;
        } else
            j = next[j];
        if (j == m) {
            printf("%d\n", i - m + 1);
            return;
        }
    }
    printf("-1\n");
}

根据定义 next[0] = -1;
设 next[j] = k，求 next[j+1]
若 T[j] = T[k]，则 next[j+1] = k + 1 = next[j] + 1;
若 T[j] = T[next[k]], 则 next[j+1] = next[k] + 1;
next[j]函数：

void getnext(int *T, int *next) {
    int j = 0, k = -1;
    next[0] = -1;
    while (j < m) {
        if (k == -1 || T[j] == T[k]) {
            j++;
            k++;
            next[j] = k;
        } else
            k = next[k];
    }
}

分析

运用KMP算法的匹配过程

• 第1趟
  目标 a c a b a a b aa b c a c a a b c
  模式  a b a a b c a c
  j = 1 -> j = f(j-1) + 1 = 0
• 第2趟 
  目标 a c a b a a b aa b c a c a a b c
  模式 a b a a b c a c
  j = 5->j =f(j-1)+1= 2
• 第3趟
  目标 a c a b a a b a a b c a c a a b c
  模式    (a b)a a b c a c
  计算失效函数f[j]的方法
  首先确定f[0] = -1，再利用f[j]求f[j+1]。
  KaTeX parse error: Expected group after '\right' at end of input: …nd{array}\right
  其中, f(1)[j] = f[j],
       f(m)[j] = f[f(m-1)[j]]
  
  kmp算法的复杂度是O(n+m)，可以采用均摊分析来解答，具体可参考算法导论。
  注意事项：
  next数组定义为全局变量时，最好不要命名为next，会与库函数重名，提交时会出现编译错误。。。

练习

HDU 1711 Number Sequence
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1711
解题思路：http://blog.csdn.net/piaocoder/article/details/41928323
POJ 2406 Power Strings
题目链接：http://poj.org/problem?id=2406
解题思路：http://blog.csdn.net/piaocoder/article/details/47733683
POJ 2752 Seek the Name, Seek the Fame
题目链接：http://poj.org/problem?id=2752
解题思路：http://blog.csdn.net/piaocoder/article/details/47733303
POJ 3461 Oulipo
题目链接：http://poj.org/problem?id=3461
解题思路：http://blog.csdn.net/piaocoder/article/details/47732321