Sooooooooy
Sooooooooy

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题

精确覆盖问题的定义：给定一个由0-1组成的矩阵，是否能找到一个行的集合，使得集合中每一列都恰好包含一个1

例如：如下的矩阵

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第1张图片

就包含了这样一个集合（第1、4、5行）

 

如何利用给定的矩阵求出相应的行的集合呢？我们采用回溯法

 

矩阵1：跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第2张图片

 

先假定选择第1行，如下所示：

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第3张图片

如上图中所示，红色的那行是选中的一行，这一行中有3个1，分别是第3、5、6列。

由于这3列已经包含了1，故，把这三列往下标示，图中的蓝色部分。蓝色部分包含3个1，分别在2行中，把这2行用紫色标示出来

根据定义，同一列的1只能有1个，故紫色的两行，和红色的一行的1相冲突。

那么在接下来的求解中，红色的部分、蓝色的部分、紫色的部分都不能用了，把这些部分都删除，得到一个新的矩阵

矩阵2：clip_image002[6]

行分别对应矩阵1中的第2、4、5行

列分别对应矩阵1中的第1、2、4、7列

 

于是问题就转换为一个规模小点的精确覆盖问题

 

在新的矩阵中再选择第1行，如下图所示

clip_image002[8]

还是按照之前的步骤，进行标示。红色、蓝色和紫色的部分又全都删除，导致新的空矩阵产生，而红色的一行中有0（有0就说明这一列没有1覆盖）。说明，第1行选择是错误的

 

那么回到之前，选择第2行，如下图所示

clip_image002[10]

按照之前的步骤，进行标示。把红色、蓝色、紫色部分删除后，得到新的矩阵

矩阵3：clip_image002[12]

行对应矩阵2中的第3行，矩阵1中的第5行

列对应矩阵2中的第2、4列，矩阵1中的第2、7列

 

由于剩下的矩阵只有1行，且都是1，选择这一行，问题就解决

于是该问题的解就是矩阵1中第1行、矩阵2中的第2行、矩阵3中的第1行。也就是矩阵1中的第1、4、5行

 

在求解这个问题的过程中，我们第1步选择第1行是正确的，但是不是每个题目第1步选择都是正确的，如果选择第1行无法求解出结果出来，那么就要推倒之前的选择，从选择第2行开始，以此类推

 

从上面的求解过程来看，实际上求解过程可以如下表示

1、从矩阵中选择一行

2、根据定义，标示矩阵中其他行的元素

3、删除相关行和列的元素，得到新矩阵

4、如果新矩阵是空矩阵，并且之前的一行都是1，那么求解结束，跳转到6；新矩阵不是空矩阵，继续求解，跳转到1；新矩阵是空矩阵，之前的一行中有0，跳转到5

5、说明之前的选择有误，回溯到之前的一个矩阵，跳转到1；如果没有矩阵可以回溯，说明该问题无解，跳转到7

6、求解结束，把结果输出

7、求解结束，输出无解消息

 

从如上的求解流程来看，在求解的过程中有大量的缓存矩阵和回溯矩阵的过程。而如何缓存矩阵以及相关的数据（保证后面的回溯能正确恢复数据），也是一个比较头疼的问题（并不是无法解决）。以及在输出结果的时候，如何输出正确的结果（把每一步的选择转换为初始矩阵相应的行）。

 

于是算法大师Donald E.Knuth（《计算机程序设计艺术》的作者）出面解决了这个方面的难题。他提出了DLX（Dancing Links X）算法。实际上，他把上面求解的过程称为X算法，而他提出的舞蹈链（Dancing Links）实际上并不是一种算法，而是一种数据结构。一种非常巧妙的数据结构，他的数据结构在缓存和回溯的过程中效率惊人，不需要额外的空间，以及近乎线性的时间。而在整个求解过程中，指针在数据之间跳跃着，就像精巧设计的舞蹈一样，故Donald E.Knuth把它称为Dancing Links（中文译名舞蹈链）。

 

Dancing Links的核心是基于双向链的方便操作（移除、恢复加入）

我们用例子来说明

假设双向链的三个连续的元素，A1、A2、A3，每个元素有两个分量Left和Right，分别指向左边和右边的元素。由定义可知

A1.Right=A2，A2.Right=A3

A2.Left=A1，A3.Left=A2

在这个双向链中，可以由任一个元素得到其他两个元素，A1.Right.Right=A3，A3.Left.Left=A1等等

 

现在把A2这个元素从双向链中移除（不是删除）出去，那么执行下面的操作就可以了

A1.Right=A3，A3.Left=A1

那么就直接连接起A1和A3。A2从双向链中移除出去了。但仅仅是从双向链中移除了，A2这个实体还在，并没有删除。只是在双向链中遍历的话，遍历不到A2了。

那么A2这个实体中的两个分量Left和Right指向谁？由于实体还在，而且没有修改A2分量的操作，那么A2的两个分量指向没有发生变化，也就是在移除前的指向。即A2.Left=A1和A2.Right=A3

 

如果此时发现，需要把A2这个元素重新加入到双向链中的原来的位置，也就是A1和A3的中间。由于A2的两个分量没有发生变化，仍然指向A1和A3。那么只要修改A1的Right分量和A3的Left就行了。也就是下面的操作

A1.Right=A2，A3.Left=A2

 

仔细想想，上面两个操作（移除和恢复加入）对应了什么？是不是对应了之前的算法过程中的关键的两步？

移除操作对应着缓存数据、恢复加入操作对应着回溯数据。而美妙的是，这两个操作不再占用新的空间，时间上也是极快速的

 

在很多实际运用中，把双向链的首尾相连，构成循环双向链

 

Dancing Links用的数据结构是交叉十字循环双向链

而Dancing Links中的每个元素不仅是横向循环双向链中的一份子，又是纵向循环双向链的一份子。

因为精确覆盖问题的矩阵往往是稀疏矩阵（矩阵中，0的个数多于1），Dancing Links仅仅记录矩阵中值是1的元素。

 

Dancing Links中的每个元素有6个分量

分别：Left指向左边的元素、Right指向右边的元素、Up指向上边的元素、Down指向下边的元素、Col指向列标元素、Row指示当前元素所在的行

 

Dancing Links还要准备一些辅助元素（为什么需要这些辅助元素？没有太多的道理，大师认为这能解决问题，实际上是解决了问题）

Ans（）：Ans数组，在求解的过程中保留当前的答案，以供最后输出答案用。

Head元素：求解的辅助元素，在求解的过程中，当判断出Head.Right=Head（也可以是Head.Left=Head）时，求解结束，输出答案。Head元素只有两个分量有用。其余的分量对求解没啥用

C元素：辅助元素，称列标元素，每列有一个列标元素。本文开始的题目的列标元素分别是C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7。每一列的元素的Col分量都指向所在列的列标元素。列标元素的Col分量指向自己（也可以是没有）。在初始化的状态下，Head.Right=C1、C1.Right=C2、……、C7.Right=Head、Head.Left=C7等等。列标元素的分量Row=0，表示是处在第0行。

 

下图就是根据题目构建好的交叉十字循环双向链（构建的过程后面的详述）

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第4张图片

就上图解释一下

每个绿色方块是一个元素，其中Head和C1、C2、……、C7是辅助元素。橙色框中的元素是原矩阵中1的元素，给他们标上号（从1到16）

左侧的红色，标示的是行号，辅助元素所在的行是0行，其余元素所在的行从1到6

每两个元素之间有一个双向箭头连线，表示双向链中相邻两个元素的关系（水平的是左右关系、垂直的是上下关系）

单向的箭头并不是表示单向关系，而因为是循环双向链，左侧的单向箭头和右侧的单向箭头（上边的和下边的）组成了一个双向箭头，例如元素14左侧的单向箭头和元素16右侧的单项箭头组成一个双向箭头，表示14.Left=16、16.Right=14；同理，元素14下边的单项箭头和元素C4上边的单向箭头组成一个双向箭头，表示14.Down=C4、C4.Up=14

 

接下来，利用图来解释Dancing Links是如何求解精确覆盖问题

1、首先判断Head.Right=Head？若是，求解结束，输出解；若不是，求解还没结束，到步骤2（也可以判断Head.Left=Head？）

2、获取Head.Right元素，即元素C1，并标示元素C1（标示元素C1，指的是标示C1、和C1所在列的所有元素、以及该元素所在行的元素，并从双向链中移除这些元素）。如下图中的紫色部分。

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第5张图片

如上图可知，行2和行4中的一个必是答案的一部分（其他行中没有元素能覆盖列C1），先假设选择的是行2

 

3、选择行2（在答案栈中压入2），标示该行中的其他元素（元素5和元素6）所在的列首元素，即标示元素C4和标示元素C7，下图中的橙色部分。

注意的是，即使元素5在步骤2中就从双向链中移除，但是元素5的Col分量还是指向元素C4的，这里体现了双向链的强大作用。

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第6张图片

 

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第7张图片

一下子空了好多，是不是转换为一个少了很多元素的精确覆盖问题？，利用递归的思想，很快就能写出求解的过程来。我们继续完成求解过程

 

4、获取Head.Right元素，即元素C2，并标示元素C2。如下图中的紫色部分。

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第8张图片

如图，列C2只有元素7覆盖，故答案只能选择行3

 

5、选择行3（在答案栈中压入3），标示该行中的其他元素（元素8和元素9）所在的列首元素，即标示元素C3和标示元素C6，下图中的橙色部分。

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第9张图片

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第10张图片

 

6、获取Head.Right元素，即元素C5，元素C5中的垂直双向链中没有其他元素，也就是没有元素覆盖列C5。说明当前求解失败。要回溯到之前的分叉选择步骤（步骤2）。那要回标列首元素（把列首元素、所在列的元素，以及对应行其余的元素。并恢复这些元素到双向链中），回标列首元素的顺序是标示元素的顺序的反过来。从前文可知，顺序是回标列首C6、回标列首C3、回标列首C2、回标列首C7、回标列首C4。表面上看起来比较复杂，实际上利用递归，是一件很简单的事。并把答案栈恢复到步骤2（清空的状态）的时候。又回到下图所示

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第11张图片

 

7、由于之前选择行2导致无解，因此这次选择行4（再无解就整个问题就无解了）。选择行4（在答案栈中压入4），标示该行中的其他元素（元素11）所在的列首元素，即标示元素C4，下图中的橙色部分。

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第12张图片

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第13张图片

 

8、获取Head.Right元素，即元素C2，并标示元素C2。如下图中的紫色部分。

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第14张图片

如图，行3和行5都可以选择

 

9、选择行3（在答案栈中压入3），标示该行中的其他元素（元素8和元素9）所在的列首元素，即标示元素C3和标示元素C6，下图中的橙色部分。

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第15张图片

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第16张图片

 

10、获取Head.Right元素，即元素C5，元素C5中的垂直双向链中没有其他元素，也就是没有元素覆盖列C5。说明当前求解失败。要回溯到之前的分叉选择步骤（步骤8）。从前文可知，回标列首C6、回标列首C3。并把答案栈恢复到步骤8（答案栈中只有4）的时候。又回到下图所示

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第17张图片

 

11、由于之前选择行3导致无解，因此这次选择行5（在答案栈中压入5），标示该行中的其他元素（元素13）所在的列首元素，即标示元素C7，下图中的橙色部分。

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第18张图片

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第19张图片

 

12、获取Head.Right元素，即元素C3，并标示元素C3。如下图中的紫色部分。

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第20张图片

 

13、如上图，列C3只有元素1覆盖，故答案只能选择行3（在答案栈压入1）。标示该行中的其他元素（元素2和元素3）所在的列首元素，即标示元素C5和标示元素C6，下图中的橙色部分。

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第21张图片

把上图中的紫色部分和橙色部分移除的话，剩下的绿色部分就如下图所示

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第22张图片

 

14、因为Head.Right=Head。故，整个过程求解结束。输出答案，答案栈中的答案分别是4、5、1。表示该问题的解是第4、5、1行覆盖所有的列。如下图所示（蓝色的部分）

跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题_第23张图片

 

从以上的14步来看，可以把Dancing Links的求解过程表述如下

 

1、Dancing函数的入口

2、判断Head.Right=Head？，若是，输出答案，返回True，退出函数。

3、获得Head.Right的元素C

4、标示元素C

5、获得元素C所在列的一个元素

6、标示该元素同行的其余元素所在的列首元素

7、获得一个简化的问题，递归调用Daning函数，若返回的True，则返回True，退出函数。

8、若返回的是False，则回标该元素同行的其余元素所在的列首元素，回标的顺序和之前标示的顺序相反

9、获得元素C所在列的下一个元素，若有，跳转到步骤6

10、若没有，回标元素C，返回False，退出函数。

 

 

 

之前的文章的表述，为了表述简单，采用面向对象的思路，说每个元素有6个分量，分别是Left、Right、Up、Down、Col、Row分量。

但在实际的编码中，用数组也能实现相同的作用。例如：用Left（）表示所有元素的Left分量，Left（1）表示元素1的Left分量

在前文中，元素分为Head元素、列首元素（C1、C2等）、普通元素。在编码中，三种元素统一成一种元素。如上题，0表示Head元素，1表示元素C1、2表示元素C2、……、7表示元素C7，从8开始表示普通元素。这是统一后，编码的简便性。利用数组的下标来表示元素，宛若指针一般。

 

 

下面是代码的讲解

 

1、该类的一些变量


     Private Left()  As  Integer, Right()  As  Integer, Up()  As  Integer, Down()  As  Integer 
     Private Row()  As  Integer, Col()  As  Integer 

     Private _Head  As  Integer 

     Private _Rows  As  Integer, _Cols  As  Integer, _NodeCount  As  Integer 
     Private Ans()  As  Integer

 

前两行表示每个元素的六个分量，用数组表示；_Head表示元素Head，在类中初始化时令其等于0；_Rows表示矩阵的行数，_Cols表示矩阵的列数，_NodeCount表示元素的个数；Ans（）用于存放答案

 

 

2、求解的主函数，Dance函数，是个递归函数，参数K表示当前的调用层数。


     Public  Function Dance()  As  Integer() 
         Return IIf(Dance(0) =  True, Ans,  Nothing) 
     End  Function  

     Private  Function Dance( ByVal K  As  Integer)  As  Boolean 

         Dim C1  As  Integer = Right(_Head) 
         If (C1 = _Head)  Then 
             ReDim  Preserve Ans(K - 1) 
             Return  True 
         End  If

        RemoveCol(C1) 

         Dim I  As  Integer, J  As  Integer 

        I = Down(C1) 
         Do  While I <> C1 
            Ans(K) = Row(I) 

            J = Right(I) 
             Do  While J <> I 
                RemoveCol(Col(J)) 
                J = Right(J) 
             Loop 

             If Dance(K + 1)  Then  Return  True 

            J = Left(I) 
             Do  While J <> I 
                ResumeCol(Col(J)) 
                J = Left(J) 
             Loop 

            I = Down(I) 
         Loop  

        ResumeCol(C1) 
         Return  False 
     End  Function

 

其中第一个函数Dance是对外开放的函数，它通过调用Dance（0）来求解问题，根据返回值来决定返回答案（当为True的时候）还是返回空（当为False的时候）

第二个函数是求解的主函数。首先通过Right（_Head）获得_Head元素的右元素。判断是否等于自身，若是，求解结束，因为答案保存在Ans（0）到Ans（K-1）中，所以先把答案数组中多余的部分去除（利用Redim语句）。

RemoveCol函数是用来标示列首元素的，ResumeCol函数用来回标列首元素的，其中通过Col（J）获得J元素的列首元素。在函数中有个很聪明的设计，在标示列首元素时，顺序是从I元素的右侧元素开始；而在回标列首元素时，顺序是从I元素的左侧元素开始，正好顺序和标示列首元素的顺序相反。

在调用Dance（K+1）前，把当前选中的行保存到Ans（K）中，当Dance（K+1）返回True时，说明递归调用获得正确的解，那直接返回True；返回False时，说明当前选择的行不正确，回标列首元素，获得下一个元素。

当元素C1中所在的列的其余元素所选定的行没有求解正确的递归函数时（包括C1列没有其余的元素），说明当前的求解失败，回标列首元素C1，返回False

 

 

3、求解的辅助函数，RemoveCol函数，标示列首函数


     Public  Sub RemoveCol( ByVal Col  As  Integer) 

        Left(Right(Col)) = Left(Col) 
        Right(Left(Col)) = Right(Col) 

         Dim I  As  Integer, J  As  Integer 

        I = Down(Col) 
         Do  While I <> Col 
            J = Right(I) 
             Do  While J <> I 
                Up(Down(J)) = Up(J) 
                Down(Up(J)) = Down(J) 
                J = Right(J) 
             Loop 

            I = Down(I) 
         Loop 

     End  Sub

 

首先，利用Left(Right(Col)) = Left(Col) 和Right(Left(Col)) = Right(Col) 把列首元素Col从水平双向链中移除出去。再依次把Col所在的列的其余元素的所在行的其余元素从垂直双向链中移除出去，利用的是Up(Down(J)) = Up(J) 和Down(Up(J)) = Down(J)。找寻Col所在列的其余元素的顺序是从下边（Down分量）开始，移除所在行其余元素的顺序是从右边（Right分量）开始 。可以参考之前的图中的紫色部分。

 

4、求解的辅助函数，ResumeCol函数，回标列首函数


     Public  Sub ResumeCol( ByVal Col  As  Integer) 

        Left(Right(Col)) = Col 
        Right(Left(Col)) = Col 

         Dim I  As  Integer, J  As  Integer 

        I = Up(Col) 

         Do  While (I <> Col) 
            J = Right(I) 
             Do  While J <> I 
                Up(Down(J)) = J 
                Down(Up(J)) = J 
                J = Right(J) 
             Loop 
            I = Up(I) 
         Loop 

     End  Sub

 

首先，利用Left(Right(Col)) = Col 和Right(Left(Col)) = Col 把列首元素Col恢复到水平双向链中。再依次把Col所在的列的其余元素的所在行的其余元素恢复到垂直双向链中，利用的是Up(Down(J)) = J 和Down(Up(J)) = J。找寻Col所在列的其余元素的顺序是从上边（Up分量）开始（和之前的RemoveCol函数相反），恢复所在行其余元素的顺序是从右边（Right分量）开始 。

 

5、类的初始化函数


     Public  Sub  New( ByVal Cols  As  Integer) 
         ReDim Left(Cols), Right(Cols), Up(Cols), Down(Cols), Row(Cols), Col(Cols), Ans(Cols) 
         Dim I  As  Integer 

        Up(0) = 0 
        Down(0) = 0 
        Right(0) = 1 
        Left(0) = Cols 

         For I = 1  To Cols 
            Up(I) = I 
            Down(I) = I 
            Left(I) = I - 1 
            Right(I) = I + 1 
            Col(I) = I 
            Row(I) = 0 
         Next 

        Right(Cols) = 0 

        _Rows = 0 
        _Cols = Cols 
        _NodeCount = Cols 
        _Head = 0 
     End  Sub

 

初始化函数有一个参数Cols，表示这个矩阵的列数。

初始化的时候，由于没有传入矩阵元素的信息。因此，在该函数中先把辅助元素完成

0表示Head元素，1-Cols表示Cols个列的列首元素

第一句，重定义六个分量的数组，表示Head元素和列首元素的六个分量。

Right(0) = 1表示Head元素的Right分量指向列首元素1（第1列的列首元素）；Left(0) = Cols表示Head元素的Left分量指向列首元素Cols（第Cols列的列首元素）

后面的一段循环，给每个列首元素指定六个分量。Up和Down分量指向自己，Left分量指向左边的列首元素（I-1），Right分量指向右边的列首元素（I+1），Col分量指向自己，Row分量为0，参看前面的图。最后Right（Cols）=0，Cols列的列首元素的Right分量指向Head元素

其后是一些变量的赋值。把_Head赋值为0，表示0为Head元素，是为了后面的代码的直观性

 

 

6、添加矩阵元素的函数


     Public  Sub AppendLine( ByVal  ParamArray Value()  As  Integer) 
        _Rows += 1 
         If Value.Length = 0  Then  Exit Sub 

         Dim I  As  Integer, K  As  Integer = 0 

         For I = 0  To Value.Length - 1 
             If Value(I) = 1  Then 
                _NodeCount += 1 
                 ReDim  Preserve Left(_NodeCount) 
                 ReDim  Preserve Right(_NodeCount) 
                 ReDim  Preserve Up(_NodeCount) 
                 ReDim  Preserve Down(_NodeCount) 
                 ReDim  Preserve Row(_NodeCount) 
                 ReDim  Preserve Col(_NodeCount) 
                 ReDim  Preserve Ans(_NodeCount) 
                 If K = 0  Then 
                    Left(_NodeCount) = _NodeCount 
                    Right(_NodeCount) = _NodeCount 
                    K = 1 
                 Else 
                    Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1 
                    Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1) 
                    Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount 
                    Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount 
                 End  If 

                Down(_NodeCount) = I + 1 
                Up(_NodeCount) = Up(I + 1) 
                Down(Up(I + 1)) = _NodeCount 
                Up(I + 1) = _NodeCount  

                Row(_NodeCount) = _Rows 
                Col(_NodeCount) = I + 1 
             End  If 
         Next 

     End  Sub

 

把矩阵的一行元素（包括0和1）添加到类中

在前文中介绍了Dancing Links中只存储1的元素（稀疏矩阵），因此，在添加的时候，先判断值是否是1。

那实际上问题是如何把元素添加到双向链中，在添加的过程中，自左向右添加。

 

先考量如何把元素添加到水平双向链中

当添加这一行的第一个元素时，由于还没有双向链，首先构造一个只有一个元素的双向链。Left(_NodeCount) = _NodeCount和Right(_NodeCount) = _NodeCount。这个元素的Left和Right分量都指向自己。

从第二个元素开始。问题就转换为把元素添加到水平双向链的末尾，实际上需要知道之前的水平双向链的最左边的元素和最右边的元素，可以肯定的是最右边的元素是_NodeCount-1，最左边的元素是什么？之前并没有缓存啊。由于是循环双向链，Right（_NodeCount-1）就是这双向链的最左边的元素。Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1，把当前元素的Left分量指向最右边的元素即_NodeCount-1；Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1) ，把当前元素的Right分量指向最左边的元素即Right（_NodeCount-1）；Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount，把最左边的元素即Right（_NodeCount-1）的Left分量指向当前元素；Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount，把最右边的元素即_NodeCount-1的Right分量指向当前元素

 

再考量如何把元素添加到垂直双向链

同样，问题就转换为把元素添加到垂直双向链的末尾，实际上需要知道之前的垂直双向链的最上边的元素和最下边的元素。和水平双向链的不同，我们没法知道最下边的元素，但是我们可以利用列首元素知道最上边的元素（列首元素就是该双向链中最上边的元素）。因此，最上边的元素是I+1（因为I是从0开始的，故相应的列就是I+1，相应的列首元素就是I+1），那么最下边的元素就是Up（I+1）。Down(_NodeCount) = I + 1，把当前元素的Down分量指向最上边的元素即I+1；Up(_NodeCount) = Up(I + 1) ，把当前元素的Up分量指向最下边的元素即Up（I+1）；Down(Up(I + 1)) = _NodeCount，把最下边元素即Up（I+1）的Down分量指向当前元素；Up(I + 1) = _NodeCount，把最上边元素即I+1的Up分量指向当前元素

 

至此，完成了把当前元素添加到两个双向链的过程

最后，给当前元素的Row分量和Col分量赋值

 

在文首的题目中，添加第一行的数据，如下调用

AppendLine（0，0，1，0，1，1，0）

 

 

如果一行中有大量的0，那么用下面的函数比较方便


     Public  Sub AppendLineByIndex( ByVal  ParamArray Index()  As  Integer) 
        _Rows += 1 
         If Index.Length = 0  Then  Exit Sub 

         Dim I  As  Integer, K  As  Integer = 0  

         ReDim  Preserve Left(_NodeCount + Index.Length) 
         ReDim  Preserve Right(_NodeCount + Index.Length) 
         ReDim  Preserve Up(_NodeCount + Index.Length) 
         ReDim  Preserve Down(_NodeCount + Index.Length) 
         ReDim  Preserve Row(_NodeCount + Index.Length) 
         ReDim  Preserve Col(_NodeCount + Index.Length) 
         ReDim  Preserve Ans(_NodeCount + Index.Length) 

         For I = 0  To Index.Length - 1 

            _NodeCount += 1 

             If I = 0  Then 
                Left(_NodeCount) = _NodeCount 
                Right(_NodeCount) = _NodeCount 
             Else 
                Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1 
                Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1) 
                Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount 
                Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount 
             End  If 

            Down(_NodeCount) = Index(I) 
            Up(_NodeCount) = Up(Index(I)) 
            Down(Up(Index(I))) = _NodeCount 
            Up(Index(I)) = _NodeCount 

            Row(_NodeCount) = _Rows 
            Col(_NodeCount) = Index(I) 
         Next  

     End  Sub

该函数的参数是这一行中值为1的元素的所在列的下标，具体就不再解释了。和AppendLine函数类似。

在文首的题目中，添加第一行的数据，如下调用

AppendLineByIndex（3，5，6）

和AppendLine（0，0，1，0，1，1，0）效果相同。

 

下面的代码是调用该类求解文首题目的代码

 

Dim tS As New clsDancingLinks(7)


tS.AppendLineByIndex(3, 5, 6) 
tS.AppendLineByIndex(1, 4, 7) 
tS.AppendLineByIndex(2, 3, 6) 
tS.AppendLineByIndex(1, 4) 
tS.AppendLineByIndex(2, 7) 
tS.AppendLineByIndex(4, 5, 7)

 

Dim Ans() As Integer = tS.Dance 

 

Ans（）数组中的值是4，5，1

 

 

至此，求解精确覆盖问题的Dancing Links算法就介绍完了。利用十字循环双向链这个特殊的数据结构，不可思议的完成了缓存矩阵和回溯矩阵的过程，十分优雅，十分高效。故Donald E.Knuth把它称为Dancing Links（舞蹈链）。我更喜欢跳跃的舞者这个名字

 

有很多问题都能转换为精确覆盖问题，再利用Dancing Links算法求解就方便多了。

 

 

最后，把该类的完整代码贴在下方



Public  Class  clsDancingLinks 
     Private Left()  As  Integer, Right()  As  Integer, Up()  As  Integer, Down()  As  Integer 
     Private Row()  As  Integer, Col()  As  Integer 

     Private _Head  As  Integer 

     Private _Rows  As  Integer, _Cols  As  Integer, _NodeCount  As  Integer 
     Private Ans()  As  Integer 

     Public  Sub  New( ByVal Cols  As  Integer) 
         ReDim Left(Cols), Right(Cols), Up(Cols), Down(Cols), Row(Cols), Col(Cols), Ans(Cols) 
         Dim I  As  Integer 

        Up(0) = 0 
        Down(0) = 0 
        Right(0) = 1 
        Left(0) = Cols 

         For I = 1  To Cols 
            Up(I) = I 
            Down(I) = I 
            Left(I) = I - 1 
            Right(I) = I + 1 
            Col(I) = I 
            Row(I) = 0 
         Next 

        Right(Cols) = 0 

        _Rows = 0 
        _Cols = Cols 
        _NodeCount = Cols 
        _Head = 0 
     End  Sub 

     Public  Sub AppendLine( ByVal  ParamArray Value()  As  Integer) 
        _Rows += 1 
         If Value.Length = 0  Then  Exit Sub 

         Dim I  As  Integer, K  As  Integer = 0 

         For I = 0  To Value.Length - 1 
             If Value(I) = 1  Then 
                _NodeCount += 1 
                 ReDim  Preserve Left(_NodeCount) 
                 ReDim  Preserve Right(_NodeCount) 
                 ReDim  Preserve Up(_NodeCount) 
                 ReDim  Preserve Down(_NodeCount) 
                 ReDim  Preserve Row(_NodeCount) 
                 ReDim  Preserve Col(_NodeCount) 
                 ReDim  Preserve Ans(_NodeCount) 
                 If K = 0  Then 
                    Left(_NodeCount) = _NodeCount 
                    Right(_NodeCount) = _NodeCount 
                    K = 1 
                 Else 
                    Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1 
                    Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1) 
                    Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount 
                    Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount 
                 End  If 

                Down(_NodeCount) = I + 1 
                Up(_NodeCount) = Up(I + 1) 
                Down(Up(I + 1)) = _NodeCount 
                Up(I + 1) = _NodeCount  

                Row(_NodeCount) = _Rows 
                Col(_NodeCount) = I + 1 
             End  If 
         Next 

     End  Sub 

     Public  Sub AppendLineByIndex( ByVal  ParamArray Index()  As  Integer) 
        _Rows += 1 
         If Index.Length = 0  Then  Exit Sub 

         Dim I  As  Integer, K  As  Integer = 0  

         ReDim  Preserve Left(_NodeCount + Index.Length) 
         ReDim  Preserve Right(_NodeCount + Index.Length) 
         ReDim  Preserve Up(_NodeCount + Index.Length) 
         ReDim  Preserve Down(_NodeCount + Index.Length) 
         ReDim  Preserve Row(_NodeCount + Index.Length) 
         ReDim  Preserve Col(_NodeCount + Index.Length) 
         ReDim  Preserve Ans(_NodeCount + Index.Length) 

         For I = 0  To Index.Length - 1 

            _NodeCount += 1 

             If I = 0  Then 
                Left(_NodeCount) = _NodeCount 
                Right(_NodeCount) = _NodeCount 
             Else 
                Left(_NodeCount) = _NodeCount - 1 
                Right(_NodeCount) = Right(_NodeCount - 1) 
                Left(Right(_NodeCount - 1)) = _NodeCount 
                Right(_NodeCount - 1) = _NodeCount 
             End  If 

            Down(_NodeCount) = Index(I) 
            Up(_NodeCount) = Up(Index(I)) 
            Down(Up(Index(I))) = _NodeCount 
            Up(Index(I)) = _NodeCount 

            Row(_NodeCount) = _Rows 
            Col(_NodeCount) = Index(I) 
         Next 


     End  Sub 

     Public  Function Dance()  As  Integer() 
         Return IIf(Dance(0) =  True, Ans,  Nothing) 
     End  Function 


     Private  Function Dance( ByVal K  As  Integer)  As  Boolean 

         Dim C1  As  Integer = Right(_Head) 
         If (C1 = _Head)  Then 
             ReDim  Preserve Ans(K - 1) 
             Return  True 
         End  If 
        RemoveCol(C1) 

         Dim I  As  Integer, J  As  Integer 

        I = Down(C1) 
         Do  While I <> C1 
            Ans(K) = Row(I) 

            J = Right(I) 
             Do  While J <> I 
                RemoveCol(Col(J)) 
                J = Right(J) 
             Loop 

             If Dance(K + 1)  Then  Return  True 

            J = Left(I) 
             Do  While J <> I 
                ResumeCol(Col(J)) 
                J = Left(J) 
             Loop 

            I = Down(I) 
         Loop  

        ResumeCol(C1) 
         Return  False 
     End  Function 

     Public  Sub RemoveCol( ByVal Col  As  Integer) 

        Left(Right(Col)) = Left(Col) 
        Right(Left(Col)) = Right(Col) 

         Dim I  As  Integer, J  As  Integer 

        I = Down(Col) 
         Do  While I <> Col 
            J = Right(I) 
             Do  While J <> I 
                Up(Down(J)) = Up(J) 
                Down(Up(J)) = Down(J) 
                J = Right(J) 
             Loop 

            I = Down(I) 
         Loop 

     End  Sub 

     Public  Sub ResumeCol( ByVal Col  As  Integer) 

        Left(Right(Col)) = Col 
        Right(Left(Col)) = Col 

         Dim I  As  Integer, J  As  Integer 

        I = Up(Col) 

         Do  While (I <> Col) 
            J = Right(I) 
             Do  While J <> I 
                Up(Down(J)) = J 
                Down(Up(J)) = J 
                J = Right(J) 
             Loop 
            I = Up(I) 
         Loop 

     End  Sub 
End  Class 

作者： 万仓一黍
出处： http://grenet.cnblogs.com/
本文版权归作者和博客园共有，欢迎转载，但未经作者同意必须保留此段声明，且在文章页面明显位置给出原文连接，否则保留追究法律责任的权利。

你可能感兴趣的:(笔记)

  • 10月|愿你的青春不负梦想-读书笔记-01 Tracy的小书斋
    本书的作者是俞敏洪，大家都很熟悉他了吧。俞敏洪老师是我行业的领头羊吧，也是我事业上的偶像。本日摘录他书中第一章中的金句：『一个人如果什么目标都没有，就会浑浑噩噩，感觉生命中缺少能量。能给我们能量的，是对未来的期待。第一件事，我始终为了进步而努力。与其追寻全世界的骏马，不如种植丰美的草原，到时骏马自然会来。第二件事，我始终有阶段性的目标。什么东西能给我能量？答案是对未来的期待。』读到这里的时候，我便
  • 《投行人生》读书笔记 小蘑菇的树洞
    《投行人生》----作者詹姆斯-A-朗德摩根斯坦利副主席40年的职业洞见-很短小精悍的篇幅，比较适合初入职场的新人。第一部分成功的职业生涯需要规划1.情商归为适应能力分享与协作同理心适应能力，更多的是自我意识，你有能力识别自己的情并分辨这些情绪如何影响你的思想和行为。2.对于初入职场的人的建议，细节，截止日期和数据很重要截止日期，一种有效的方法是请老板为你所有的任务进行优先级排序。和老板喝咖啡的好
  • 【一起学Rust | 设计模式】习惯语法——使用借用类型作为参数、格式化拼接字符串、构造函数 广龙宇 一起学Rust#Rust设计模式rust设计模式开发语言
    提示：文章写完后，目录可以自动生成，如何生成可参考右边的帮助文档文章目录前言一、使用借用类型作为参数二、格式化拼接字符串三、使用构造函数总结前言Rust不是传统的面向对象编程语言，它的所有特性，使其独一无二。因此，学习特定于Rust的设计模式是必要的。本系列文章为作者学习《Rust设计模式》的学习笔记以及自己的见解。因此，本系列文章的结构也与此书的结构相同（后续可能会调成结构），基本上分为三个部分
  • git常用命令笔记 咩酱-小羊 git笔记
    ###用习惯了idea总是不记得git的一些常见命令，需要用到的时候总是担心旁边站了人~~~记个笔记@_@，告诉自己看笔记不丢人初始化初始化一个新的Git仓库gitinit配置配置用户信息gitconfig--globaluser.name"YourName"gitconfig--globaluser.email"[email protected]"基本操作克隆远程仓库gitclone查看
  • 509. 斐波那契数(每日一题) lzyprime
    lzyprime博客(github)创建时间：2021.01.04qq及邮箱：2383518170leetcode笔记题目描述斐波那契数，通常用F(n)表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由0和1开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：F(0)=0，F(1)=1F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中n>1给你n，请计算F(n)。示例1：输入：2输出：1解释：F(2)=F(1)+
  • 拥有断舍离的心态，过精简生活--《断舍离》读书笔记 爱吃丸子的小樱桃
    不知不觉间房间里的东西越来越多，虽然摆放整齐，但也时常会觉得空间逼仄，令人心生烦闷。抱着断舍离的态度，我开始阅读《断舍离》这本书，希望从书中能找到一些有效的方法，帮助我实现空间、物品上的断舍离。《断舍离》是日本作家山下英子通过自己的经历、思考和实践总结而成的，整体内涵也从刚开始的私人生活哲学的“断舍离”升华成了“人生实践哲学”，接着又成为每个人都能实行的“改变人生的断舍离”，从“哲学”逐渐升华成“
  • 四章-32-点要素的聚合 彩云飘过
    本文基于腾讯课堂老胡的课《跟我学Openlayers--基础实例详解》做的学习笔记，使用的openlayers5.3.xapi。源码见1032.html，对应的官网示例https://openlayers.org/en/latest/examples/cluster.htmlhttps://openlayers.org/en/latest/examples/earthquake-clusters.
  • 高端密码学院笔记285 柚子_b4b4
    高端幸福密码学院（高级班）幸福使者：李华第（598）期《幸福》之回归内在深层生命原动力基础篇——揭秘“激励”成长的喜悦心理案例分析主讲：刘莉一，知识扩充:成功=艰苦劳动+正确方法+少说空话。贪图省力的船夫，目标永远下游。智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印。幸福早课堂2020.10.16星期五一笔记:1，重视和珍惜的前提是知道它的价值非常重要，当你珍惜了，你就真正定下来，真正的学到身上。2，大家需要
  • Day17笔记-高阶函数 ~在杰难逃~ Python笔记python开发语言pycharm数据分析
    高阶函数【重点掌握】函数的本质：函数是一个变量，函数名是一个变量名，一个函数可以作为另一个函数的参数或返回值使用如果A函数作为B函数的参数，B函数调用完成之后，会得到一个结果，则B函数被称为高阶函数常用的高阶函数：map(),reduce(),filter(),sorted()1.map()map(func,iterable)，返回值是一个iterator【容器，迭代器】func:函数iterab
  • Day1笔记-Python简介&标识符和关键字&输入输出 ~在杰难逃~ Pythonpython开发语言大数据数据分析数据挖掘
    大家好，从今天开始呢，杰哥开展一个新的专栏，当然，数据分析部分也会不定时更新的，这个新的专栏主要是讲解一些Python的基础语法和知识，帮助0基础的小伙伴入门和学习Python，感兴趣的小伙伴可以开始认真学习啦！一、Python简介【了解】1.计算机工作原理编程语言就是用来定义计算机程序的形式语言。我们通过编程语言来编写程序代码，再通过语言处理程序执行向计算机发送指令，让计算机完成对应的工作，编程
  • node.js学习 小猿L node.jsnode.js学习vim
    node.js学习实操及笔记温故node.js，node.js学习实操过程及笔记~node.js学习视频node.js官网node.js中文网实操笔记githubcsdn笔记为什么学node.js可以让别人访问我们编写的网页为后续的框架学习打下基础，三大框架vuereactangular离不开node.jsnode.js是什么官网：node.js是一个开源的、跨平台的运行JavaScript的运行
  • 数据仓库——维度表一致性 墨染丶eye 背诵数据仓库
    数据仓库基础笔记思维导图已经整理完毕，完整连接为：数据仓库基础知识笔记思维导图维度一致性问题从逻辑层面来看，当一系列星型模型共享一组公共维度时，所涉及的维度称为一致性维度。当维度表存在不一致时，短期的成功难以弥补长期的错误。维度时确保不同过程中信息集成起来实现横向钻取货活动的关键。造成横向钻取失败的原因维度结构的差别，因为维度的差别，分析工作涉及的领域从简单到复杂，但是都是通过复杂的报表来弥补设计
  • 【Git】常见命令(仅笔记) 好想有猫猫 GitLinux学习笔记git笔记elasticsearchlinuxc++
    文章目录创建/初始化本地仓库添加本地仓库配置项提交文件查看仓库状态回退仓库查看日志分支删除文件暂存工作区代码远程仓库使用`.gitigore`文件让git不追踪一些文件标签创建/初始化本地仓库gitinit添加本地仓库配置项gitconfig-l#以列表形式显示配置项gitconfiguser.name"ljh"#配置user.namegitconfiguser.email"[email protected]
  • 为什么你总是对下属不满意? ZhaoWu1050
    【ZhaoWu的听课笔记】大多数公司，都存在两种问题。我创业四年，更是体会深切。这两种问题就是：老板经常不满意下属的表现；下属总是不知道老板想要什么；虽然这两种问题普遍存在，其实解决方法并不复杂。这节课，我们再聊聊第一个问题：为什么老板经常不满意下属表现?其实，这背后也是一条管理常识。管理学家德鲁克先生早就说过：管理者的任务，不是去改变人。*来自《卓有成效的管理者》只是大多数老板和我一样，都是一边
  • 母亲节如何做小红书营销 美橙传媒
    小红书的一举一动引起了外界的高度关注。通过爆款笔记和流行话题，我们可以看到“干货”类型的内容在小红书中偏向实用的生活经验共享和生活指南非常受欢迎。根据运营社的分析，这种现象是由小红书用户心智和内容社区背后机制共同决定的。首先，小红书将使用“强搜索”逻辑为用户提供特定的“搜索场景”。在“我必须这样生活”中，大量使用了满足小红书站用户喜好和需求的内容。内容社区自制的高质量内容也吸引了寻找营销新途径的品
  • 读书笔记|《遇见孩子，遇见更好的自己》5 抹茶社长
    为人父母意味着放弃自己的过去，不要对以往没有实现的心愿耿耿于怀，只有这样，孩子们才能做回自己。985909803.jpg孩子在与父母保持亲密的同时更需要独立，唯有这样，孩子才会成为孩子，父母才会成其为父母。有耐心的人生往往更幸福，给孩子留点余地。认识到养儿育女是对耐心的考验。为失败做好心理准备，教会孩子控制情绪。了解自己的底线，说到底线，有一点很重要，父母之所以发脾气，真正的原因往往在于他们自己，
  • 基于Python给出的PDF文档转Markdown文档的方法 程序媛了了 pythonpdf开发语言
    注：网上有很多将Markdown文档转为PDF文档的方法，但是却很少有将PDF文档转为Markdown文档的方法。就算有，比如某些网站声称可以将PDF文档转为Markdown文档，尝试过，不太符合自己的要求，而且无法保证文档没有泄露风险。于是本人为了解决这个问题，借助GPT（能使用GPT镜像或者有条件直接使用GPT的，反正能调用GPT接口就行）生成Python代码来完成这个功能。笔记、代码难免存在
  • 语文主题教学学习笔记之87 东哥杂谈
    “语文主题教学”学习笔记之八十七（0125）今天继续学习小学语文主题教学的实践样态。板块三：教学中体现“书艺”味道。作为四大名著之一的《水浒传》，堪称我国文学宝库之经典。对从《水浒传》中摘选的单元，教师就要了解其原生态，即评书体特点。这也要求教师要了解一些常用的评书行话术语，然后在教学时适时地加入一些，让学生体味其文本中原有的特色。学生也要尽可能地通过朗读的方式，而不单是分析讲解的方式进行学习。细
  • Armv8.3 体系结构扩展--原文版 代码改变世界ctw ARM-TEE-Androidarmv8嵌入式arm架构安全架构芯片TrustzoneSecureboot
    快速链接:.ARMv8/ARMv9架构入门到精通-[目录]付费专栏-付费课程【购买须知】:个人博客笔记导读目录(全部)TheArmv8.3architectureextensionTheArmv8.3architectureextensionisanextensiontoArmv8.2.Itaddsmandatoryandoptionalarchitecturalfeatures.Somefeat
  • springboot+vue项目实战一-创建SpringBoot简单项目 苹果酱0567 面试题汇总与解析springboot后端java中间件开发语言
    这段时间抽空给女朋友搭建一个个人博客，想着记录一下建站的过程，就当做笔记吧。虽然复制zjblog只要一个小时就可以搞定一个网站，或者用cms系统，三四个小时就可以做出一个前后台都有的网站，而且想做成啥样也都行。但是就是要从新做，自己做的意义不一样，更何况，俺就是专门干这个的，嘿嘿嘿要做一个网站，而且从零开始，首先呢就是技术选型了，经过一番思量决定选择-SpringBoot做后端，前端使用Vue做一
  • 阅读《认知觉醒》读书笔记 就看看书
    本周阅读了周岭的《认知觉醒开启自我改变的原动力》，启发较多，故做读书笔记一则，留待学习。全书共八章，讲述了大脑、潜意识、元认知、专注力、学习力、行动力、情绪力及成本最低的成长之道。具体描述了大脑、焦虑、耐心、模糊、感性、元认知、自控力、专注力、情绪专注、学习专注、匹配、深度、关联、体系、打卡、反馈、休息、清晰、傻瓜、行动、心智宽带、单一视角、游戏心态、早起、冥想、阅读、写作、运动等相关知识点。大脑
  • 阅读笔记：阅读方法中的逻辑和转念 施吉涛
    聊聊一些阅读的方法论吧，别人家的读书方法刚开始想写，然后就不知道写什么了，因为作者写的非常的“精致”我有一种乡巴佬进城的感觉，看到精美的摆盘，精致的食材不知道该如何下口也就是《阅读的方法》，我们姑且来试一下强劲的大脑篇，第一节：逻辑通俗的来讲，也就是表达的排列和顺序，再进一步就是因果关系和关联实际上书已经看了大概一遍，但直到打算写一下笔记的时候，才发现作者讲的推理更多的是阅读的对象中呈现出的逻辑也
  • 《转介绍方法论》学习笔记 小可乐的妈妈
    一、高效转介绍的流程：价值观---执行----方案一）转介绍发生的背景：1、对象：谁向谁转介绍？全员营销，人人参与。①员工的激励政策、客户的转介绍诱因制作客户画像：a信任；支付能力；意愿度；便利度（根据家长具备四个特征的个数分为四类）B性格分类C职业分类D年龄性别②执行：套路，策略，方法，流程2、诱因：为什么要转介绍？认同信任；多方共赢；传递美好；零风险承诺打动人心，超越期待。选择做教育，就是选择
  • JAVA学习笔记之23种设计模式学习 victorfreedom Java技术设计模式androidjava常用设计模式
    博主最近买了《设计模式》这本书来学习，无奈这本书是以C++语言为基础进行说明，整个学习流程下来效率不是很高，虽然有的设计模式通俗易懂，但感觉还是没有充分的掌握了所有的设计模式。于是博主百度了一番，发现有大神写过了这方面的问题，于是博主迅速拿来学习。一、设计模式的分类总体来说设计模式分为三大类：创建型模式，共五种：工厂方法模式、抽象工厂模式、单例模式、建造者模式、原型模式。结构型模式，共七种：适配器
  • 解决Obsidian写笔记中的＜img＞标签无法显示图片的问题 全能全知者 笔记
    Obsidian中写md笔记如果使用标签会显示不出图案，后来才知道因为Obsidian的问题导致只能用绝对路径定位。所以我本人写了一个py插件，将md笔记里的img标签批量替换成Obsidian能够读取的形式。安装FixObsImgDpy:pipinstallFixObsImgDpy安装完成后在需要修复的md文件的父目录下运行命令:FixObsImgDpy就会自动修复父目录以下的全部md文件 仓库
  • 2021年周总结 03 Ruby之家
    这周的生活过得也是比较快，因为暂时住的离公司有点距离，所以通勤时间相对较长一点，而在地铁上的一个半小时如何充分利用起来，则是我最近一直在思考的问题，2021年想让自己的生活都运行在计划中。(有时候自己想干一件事情就总是给自己找很多借口，想着以后怎么怎么样？然而哪有那么多的以后，能够方便当下的工作生活就立马执行就OK，这仅仅只是我此时想到背的很重的老人机笔记本电脑，也算是陪伴我快8年的—当时买的时候
  • 2021-12-11 人生导演
    今天读到佛学书籍的一段话：初学者很难直接体验到无我，但可以经常提醒自己：一切事物都是无我的。不断强化这个观念，也会相当有帮助。比如生病了我们一般会说：“我不舒服！我很痛！我很惨！”这时候如果我们提醒自己：没有我，只是这个肉体的某些部分、某些功能出了问题，不舒服、疼痛也只是一时的感受，而感受随时在变化。仅仅是知道没有一个实存的我在生病、在受苦。然后把“一切事物都是无我的”这句话，记到笔记上，并且朗读
  • 新能源汽车 BMS 学习笔记篇—BMS 基本定义及分类 WPG大大通 其他笔记汽车BMS经验分享新能源电池
    一、BMS定义1、概念：BMS（BatteryManagementSystem）即电池管理系统，其管理对象是二次电池（充电电池或蓄电池），其主要目的是电池的利用率，防止电池出现过度充电和过度放电，可应用于电动汽车、电瓶车、机器人、无人机等图片来源：腾讯网https://new.qq.com《标准普尔警告，电动汽车电池生产面临供应链和地缘政治风险》2、四大功能①感知和测量：检测电池的电压、电流、温度
  • 机器学习-聚类算法 不良人龍木木 机器学习机器学习算法聚类
    机器学习-聚类算法1.AHC2.K-means3.SC4.MCL仅个人笔记，感谢点赞关注！1.AHC2.K-means3.SC传统谱聚类：个人对谱聚类算法的理解以及改进4.MCL目前仅专注于NLP的技术学习和分享感谢大家的关注与支持！
  • LeetCode github集合，附CMU大神整理笔记 Wesley@ LeetCodegithub
    GithubLeetCode集合本人所有做过的题目都写在一个java项目中，同步到github中了，算是见证自己的进步。github目前同步的题目是2020-09-17日之后写的题。之前写过的题会陆续跟新到github中。目前大概400个题目Github项目链接：https://github.com/sunliancheng/leetcode_github附上一份优秀的教材整合：这是卡内基梅隆(C
  • 面向对象面向过程 3213213333332132 java
    面向对象：把要完成的一件事，通过对象间的协作实现。 面向过程：把要完成的一件事，通过循序依次调用各个模块实现。 我把大象装进冰箱这件事为例，用面向对象和面向过程实现，都是用java代码完成。 1、面向对象 package bigDemo.ObjectOriented; /** * 大象类 * * @Description * @author FuJian
  • Java Hotspot: Remove the Permanent Generation bookjovi HotSpot
      openjdk上关于hotspot将移除永久带的描述非常详细，http://openjdk.java.net/jeps/122   JEP 122: Remove the Permanent Generation Author Jon Masamitsu Organization Oracle Created 2010/8/15 Updated 2011/
  • 正则表达式向前查找向后查找,环绕或零宽断言 dcj3sjt126com 正则表达式
    向前查找和向后查找 1. 向前查找：根据要匹配的字符序列后面存在一个特定的字符序列(肯定式向前查找)或不存在一个特定的序列(否定式向前查找)来决定是否匹配。.NET将向前查找称之为零宽度向前查找断言。     对于向前查找，出现在指定项之后的字符序列不会被正则表达式引擎返回。 2. 向后查找：一个要匹配的字符序列前面有或者没有指定的
  • BaseDao 171815164 seda
    import java.sql.Connection; import java.sql.DriverManager; import java.sql.SQLException; import java.sql.PreparedStatement; import java.sql.ResultSet; public class BaseDao { public Conn
  • Ant标签详解--Java命令 g21121 Java命令
            这一篇主要介绍与java相关标签的使用         终于开始重头戏了，Java部分是我们关注的重点也是项目中用处最多的部分。           1
  • [简单]代码片段_电梯数字排列 53873039oycg 代码
           今天看电梯数字排列是9 18 26这样呈倒N排列的,写了个类似的打印例子，如下:       import java.util.Arrays; public class 电梯数字排列_S3_Test { public static void main(S
  • Hessian原理 云端月影 hessian原理
    Hessian 原理分析 一．      远程通讯协议的基本原理 网络通信需要做的就是将流从一台计算机传输到另外一台计算机，基于传输协议和网络 IO 来实现，其中传输协议比较出名的有 http 、 tcp 、 udp 等等， http 、 tcp 、 udp 都是在基于 Socket 概念上为某类应用场景而扩展出的传输协
  • 区分Activity的四种加载模式----以及Intent的setFlags aijuans android
      在多Activity开发中，有可能是自己应用之间的Activity跳转，或者夹带其他应用的可复用Activity。可能会希望跳转到原来某个Activity实例，而不是产生大量重复的Activity。 这需要为Activity配置特定的加载模式，而不是使用默认的加载模式。 加载模式分类及在哪里配置 Activity有四种加载模式： standard singleTop
  • hibernate几个核心API及其查询分析 antonyup_2006 html.netHibernatexml配置管理
    (一)  org.hibernate.cfg.Configuration类         读取配置文件并创建唯一的SessionFactory对象.(一般,程序初始化hibernate时创建.)         Configuration co
  • PL/SQL的流程控制 百合不是茶 oraclePL/SQL编程循环控制
    PL/SQL也是一门高级语言,所以流程控制是必须要有的,oracle数据库的pl/sql比sqlserver数据库要难,很多pl/sql中有的sqlserver里面没有   流程控制; 分支语句 if 条件 then 结果 else 结果 end if ; 条件语句 case when 条件 then 结果; 循环语句 loop
  • 强大的Mockito测试框架 bijian1013 mockito单元测试
    一.自动生成Mock类        在需要Mock的属性上标记@Mock注解，然后@RunWith中配置Mockito的TestRunner或者在setUp()方法中显示调用MockitoAnnotations.initMocks(this);生成Mock类即可。二.自动注入Mock类到被测试类  &nbs
  • 精通Oracle10编程SQL(11)开发子程序 bijian1013 oracle数据库plsql
    /* *开发子程序 */ --子程序目是指被命名的PL/SQL块，这种块可以带有参数，可以在不同应用程序中多次调用 --PL/SQL有两种类型的子程序：过程和函数 --开发过程 --建立过程：不带任何参数 CREATE OR REPLACE PROCEDURE out_time IS BEGIN DBMS_OUTPUT.put_line(systimestamp); E
  • 【EhCache一】EhCache版Hello World bit1129 Hello world
    本篇是EhCache系列的第一篇，总体介绍使用EhCache缓存进行CRUD的API的基本使用，更细节的内容包括EhCache源代码和设计、实现原理在接下来的文章中进行介绍   环境准备 1.新建Maven项目   2.添加EhCache的Maven依赖 <dependency> <groupId>ne
  • 学习EJB3基础知识笔记 白糖_ beanHibernatejbosswebserviceejb
    最近项目进入系统测试阶段，全赖袁大虾领导有力，保持一周零bug记录，这也让自己腾出不少时间补充知识。花了两天时间把“传智播客EJB3.0”看完了，EJB基本的知识也有些了解，在这记录下EJB的部分知识，以供自己以后复习使用。   EJB是sun的服务器端组件模型，最大的用处是部署分布式应用程序。EJB (Enterprise JavaBean)是J2EE的一部分，定义了一个用于开发基
  • angular.bootstrap boyitech AngularJSAngularJS APIangular中文api
    angular.bootstrap 描述：     手动初始化angular。     这个函数会自动检测创建的module有没有被加载多次，如果有则会在浏览器的控制台打出警告日志，并且不会再次加载。这样可以避免在程序运行过程中许多奇怪的问题发生。   使用方法：     angular .
  • java-谷歌面试题-给定一个固定长度的数组，将递增整数序列写入这个数组。当写到数组尾部时，返回数组开始重新写，并覆盖先前写过的数 bylijinnan java
    public class SearchInShiftedArray { /** * 题目：给定一个固定长度的数组，将递增整数序列写入这个数组。当写到数组尾部时，返回数组开始重新写，并覆盖先前写过的数。 * 请在这个特殊数组中找出给定的整数。 * 解答： * 其实就是“旋转数组”。旋转数组的最小元素见http://bylijinnan.iteye.com/bl
  • 天使还是魔鬼？都是我们制造 ducklsl 生活教育情感
    ----------------------------剧透请原谅，有兴趣的朋友可以自己看看电影，互相讨论哦！！！     从厦门回来的动车上，无意中瞟到了书中推荐的几部关于儿童的电影。当然，这几部电影可能会另大家失望，并不是类似小鬼当家的电影，而是关于“坏小孩”的电影！     自己挑了两部先看了看，但是发现看完之后，心里久久不能平
  • [机器智能与生物]研究生物智能的问题 comsci 生物
          我想,人的神经网络和苍蝇的神经网络,并没有本质的区别...就是大规模拓扑系统和中小规模拓扑分析的区别....       但是,如果去研究活体人类的神经网络和脑系统,可能会受到一些法律和道德方面的限制,而且研究结果也不一定可靠,那么希望从事生物神经网络研究的朋友,不如把
  • 获取Android Device的信息 dai_lm android
    String phoneInfo = "PRODUCT: " + android.os.Build.PRODUCT; phoneInfo += ", CPU_ABI: " + android.os.Build.CPU_ABI; phoneInfo += ", TAGS: " + android.os.Build.TAGS; ph
  • 最佳字符串匹配算法（Damerau-Levenshtein距离算法）的Java实现 datamachine java算法字符串匹配
    原文：http://www.javacodegeeks.com/2013/11/java-implementation-of-optimal-string-alignment.html------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  • 小学5年级英语单词背诵第一课 dcj3sjt126com englishword
    long 长的 show 给...看，出示 mouth 口，嘴 write 写   use 用，使用 take 拿，带来 hand 手 clever 聪明的   often 经常 wash 洗 slow 慢的 house 房子   water 水 clean 清洁的 supper 晚餐 out 在外   face 脸，
  • macvim的使用实战 dcj3sjt126com macvim
    macvim用的是mac里面的vim, 只不过是一个GUI的APP, 相当于一个壳   1. 下载macvim https://code.google.com/p/macvim/   2. 了解macvim :h               vim的使用帮助信息 :h macvim  
  • java二分法查找 蕃薯耀 java二分法查找二分法java二分法
    java二分法查找 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 蕃薯耀 2015年6月23日 11:40:03 星期二 http:/
  • Spring Cache注解+Memcached hanqunfeng springmemcached
    Spring3.1 Cache注解  依赖jar包： <!-- simple-spring-memcached --> <dependency> <groupId>com.google.code.simple-spring-memcached</groupId> <artifactId>simple-s
  • apache commons io包快速入门 jackyrong apache commons
    原文参考 http://www.javacodegeeks.com/2014/10/apache-commons-io-tutorial.html   Apache Commons IO 包绝对是好东西，地址在http://commons.apache.org/proper/commons-io/，下面用例子分别介绍：   1）  工具类   2
  • 如何学习编程 lampcy java编程C++c
    首先,我想说一下学习思想.学编程其实跟网络游戏有着类似的效果.开始的时候,你会对那些代码,函数等产生很大的兴趣,尤其是刚接触编程的人,刚学习第一种语言的人.可是,当你一步步深入的时候,你会发现你没有了以前那种斗志.就好象你在玩韩国泡菜网游似的,玩到一定程度,每天就是练级练级,完全是一个想冲到高级别的意志力在支持着你.而学编程就更难了,学了两个月后,总是觉得你好象全都学会了,却又什么都做不了,又没有
  • 架构师之spring-----spring3.0新特性的bean加载控制@DependsOn和@Lazy nannan408 Spring3
    1.前言。    如题。 2.描述。    @DependsOn用于强制初始化其他Bean。可以修饰Bean类或方法，使用该Annotation时可以指定一个字符串数组作为参数，每个数组元素对应于一个强制初始化的Bean。 @DependsOn({"steelAxe","abc"}) @Comp
  • Spring4+quartz2的配置和代码方式调度 Everyday都不同 代码配置spring4quartz2.x定时任务
    前言：这些天简直被quartz虐哭。。因为quartz 2.x版本相比quartz1.x版本的API改动太多，所以，只好自己去查阅底层API……   quartz定时任务必须搞清楚几个概念： JobDetail——处理类 Trigger——触发器，指定触发时间，必须要有JobDetail属性，即触发对象 Scheduler——调度器，组织处理类和触发器，配置方式一般只需指定触发
  • Hibernate入门 tntxia Hibernate
      前言   使用面向对象的语言和关系型的数据库，开发起来很繁琐，费时。由于现在流行的数据库都不面向对象。Hibernate 是一个Java的ORM（Object/Relational Mapping）解决方案。   Hibernte不仅关心把Java对象对应到数据库的表中，而且提供了请求和检索的方法。简化了手工进行JDBC操作的流程。   如
  • Math类 xiaoxing598 Math
    一、Java中的数字（Math）类是final类，不可继承。 1、常数 PI：double圆周率 E：double自然对数 2、截取（注意方法的返回类型） double ceil(double d) 返回不小于d的最小整数 double floor(double d) 返回不大于d的整最大数 int round(float f) 返回四舍五入后的整数 long round
按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他