RBF径向基函数

一、径向基函数

径向基函数是某种沿径向对称的标量函数，通常定义为样本到数据中心之间径向距离（通常是欧氏距离）的单调函数（由于距离是径向同性的）。RBF核是一种常用的核函数。它是支持向量机分类中最为常用的核函数。常用的高斯径向基函数形如：

其中，可以看做两个特征向量之间的平方欧几里得距离。x’为核函数中心，是一个自由参数，是函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作用范围。。一种等价但更为简单的定义是设一个新的参数 ，其表达式为：

因为RBF核函数的值随距离减小，并介于0（极限）和1（当x = x’的时候）之间，所以它是一种现成的相似性度量表示法。核的特征空间有无穷多的维数；对于 =1，它的展开式为：

径向基函数二维图像：

RBF 拥有较小的支集。针对选定的样本点，它只对样本附近的输入有反应，如下图。

RBF 使样本点只被附近（圈内）的输入激活。
T. Poggio 将 RBF 比作记忆点。与记忆样本越近，该记忆就越被激活。
RBF 核与多项式核相比具有参数少的优点。因为参数的个数直接影响到模型选择的复杂性。
其他的径向基函数有：
Reflected Sigmoidal（反常S型）函数：

Inverse multiquadrics（拟多二次）函数：

σ称为径向基函数的扩展常数，它反应了函数图像的宽度，σ越小，宽度越窄，函数越具有选择性。

二、径向基网络

RBF（Radial Basis Function，径向基）网络是一种单隐层前馈神经网络，它使用径向基函数作为隐层神经元激活函数，而输出层则是对隐层神经元输出的线性组合。径向基函数网络具有多种用途，包括包括函数近似法、时间序列预测、分类和系统控制。他们最早由布鲁姆赫德（Broomhead）和洛维（Lowe）在1988年建立。
RBF网络分为标准RBF网络，即隐层单元数等于输入样本数；和广义RBF网络，即隐层单元数小于输入样本数。但广义RBF的隐藏层神经元个数大于输入层神经元个数，因为在标准RBF网络中，当样本数目很大时，就需要很多基函数，权值矩阵就会很大，计算复杂且容易产生病态问题。
径向基网络：

RBF神经网络的基本思想：用RBF作为隐单元的“基”构成隐藏层空间，隐藏层对输入矢量进行变换，将低维的模式输入数据变换到高维空间内，使得在低维空间内的线性不可分问题在高维空间内线性可分。详细一点就是用RBF的隐单元的“基”构成隐藏层空间，这样就可以将输入矢量直接(不通过权连接)映射到隐空间。当RBF的中心点确定以后，这种映射关系也就确定 了。而隐含层空间到输出空间的映射是线性的(注意这个地方区分一下线性映射和非线性映射的关系)，即网络输出是隐单元输出的线性加权和，此处的权即为网络可调参数。
通常采用两步过程来训练RBF网络：第一步，确定神经元中心，常用的方式包括随机采样、聚类等；第二步，利用BP算法等来确定参数。
[Park and Sandberg,1991]证明，具有足够多隐层神经元的RBF网络能以任意精度逼近任意连续函数。
且RBF网络可以处理系统内的难以解析的规律性，具有良好的泛化能力，并有很快的学习收敛速度。
RBF网络学习收敛得比较快的原因：当网络的一个或多个可调参数（权值或阈值）对任何一个输出都有影响时，这样的网络称为全局逼近网络。由于对于每次输入，网络上的每一个权值都要调整，从而导致全局逼近网络的学习速度很慢。BP网络就是一个典型的例子。如果对于输入空间的某个局部区域只有少数几个连接权值影响输出，则该网络称为局部逼近网络。常见的局部逼近网络有RBF网络、小脑模型（CMAC）网络、B样条网络等。

三、参数计算

中心点的计算：
标准RBF的样本点即为中心
广义RBF的中心点通过随机采用、聚类等方法确定
w和β的计算：
人为指定：所有神经元的β都一样，β=1/2(的平方)，=dmax/根号下的2M。dmax为任意两个样本点距离的最大值，M为样本个数。
BP算法迭代确定。

四、RBF神经网络与SVM with RBF Kernel的区别和联系：

从模型上看，区别不大，区别在于训练方式。
RBF神经网络训练分两阶段。第一阶段为非监督学习，从数据中选取记忆样本（上上图中的紫色中心）。例如聚类算法可在该阶段使用。第二阶段为监督学习，训练记忆样本与样本输出的联系。该阶段根据需要可使用 AD/BP。（AD，即 Automatic Differentiation (Backpropagation) ）