B-tree与B+tree

B-tree

B-tree是一种适用于外查找的树，它是一种平衡的多叉树，称为B-树（或B树、B_树）。

一棵m阶B树是一棵平衡的m路搜索树。它或者是空树，或者是满足下列性质的树：

1、根结点至少有两个子女；

2、每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足：┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1；（┌m/2┐为大于m/2的最小整数）

3、除根结点以外的所有结点（不包括叶子结点）的度数正好是关键字总数加1，故内部子树个数 k 满足：┌m/2┐ <= k <= m ；

4、所有的叶子结点都位于同一层。

在B-树中，每个结点中关键字从小到大排列，并且当该结点的孩子是非叶子结点时，该k-1个关键字正好是k个孩子包含的关键字的值域的分划。

因为叶子结点不包含关键字，所以可以把叶子结点看成在树里实际上并不存在外部结点，指向这些外部结点的指针为空，叶子结点的数目正好等于树中所包含的关键字总个数加1。

B-树中的一个包含n个关键字，n+1个指针的结点的一般形式为： （n,P0,K1,P1,K2,P2,…,Kn,Pn）

其中，Ki为关键字，K1

查找：

首先把根结点取来，在根结点所包含的关键字K1,…,Kn查找给定的关键字（可用顺序查找或二分查找法），若找到等于给定值的关键字，则查找成功；否则，一定可以确定要查找的关键字在Ki与Ki+1之间，Pi为指向子树根节点的指针，此时取指针Pi所指的结点继续查找，直至找到，或指针Pi为空时查找失败。

插入：

当在叶子结点处于第L+1层的B树中插入关键字时，被插入的关键字总是进入第L层的结点。

若在一个包含j

删除：

当从B-树中删除一个关键字Ki时，总的分为以下两种情况：

（一）如果该关键字所在的结点不是最下层的非叶子结点，

①首先要将其转化成在叶子节点上，再按下面（二）进行删除操作

② 转化过程：

  1）找到相邻关键字：即需删除关键字的左子树中的最大关键字或右子树中的最小关键字（可以先到左子树，再一直按右指针往下找；或在右子树中，按左指针往下找）

  2）用相邻关键字来覆盖需删除的非叶子节点关键字，在删除原相邻关键字。

（二）如果该关键字所在的结点正好是最下层的非叶子结点，这种情况下，会有以下两种可能：

① 若该关键字Ki所在结点中的关键字个数不小于┌m/2┐，则可以直接从该结点中删除该关键字和相应指针即可。

② 若该关键字Ki所在结点中的关键字个数小于┌m/2┐，则直接从结点中删除关键字会导致此结点中所含关键字个数小于┌m/2┐-1 。这种情况下，需考察该结点在B树中的左或右兄弟结点，先左后右地从兄弟结点中移若干个关键字到该结点中来（这也涉及它们的双亲结点中的一个关键字要作相应变化），使两个结点中所含关键字个数基本相同；但如果其兄弟结点的关键字个数也很少，刚好等于┌m/2┐-1 ，这种移动则不能进行，这种情形下，需要先左后右地把删除了关键字Ki的结点、它的兄弟结点及它们双亲结点中的一个关键字合并为一个结点。

B+树

B+ 树是一种树数据结构，是一个n叉排序树。一棵B+树包含根节点、内部节点和叶子节点。根节点可能是一个叶子节点，也可能是一个包含两个或两个以上孩子节点的节点。

定义：

B+树是应文件系统所需而出的一种B树的变型树。一棵m阶的B+树和m阶的B-树的差异在于：

1.有n棵子树的结点中含有n个关键字，每个关键字不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点。

2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含其子树（根结点）中的最大关键字。

查找：

对B+树可以进行两种查找运算：

1.从最小关键字起顺序查找；

2.从根结点开始，进行随机查找。

在查找时，若非终端结点上的关键值等于给定值，并不终止，而是继续向下直到叶子结点。因此，在B+树中，不管查找成功与否，每次查找都是走了一条从根到叶子结点的路径。其余同B-树的查找类似。

通常在B+树上有两个头指针，一个指向根结点，一个指向关键字最小的叶子结点。

插入：

 

m阶B树的插入操作在叶子结点上进行，假设要插入关键值a，找到叶子结点后插入a，做如下算法判别：

①如果当前结点是根结点并且插入后结点关键字数目小于等于m，则算法结束；

②如果当前结点是非根结点并且插入后结点关键字数目小于等于m，则判断若a是新索引值时转步骤④后结束，若a不是新索引值则直接结束；

③如果插入后关键字数目大于m(阶数)，则结点先分裂成两个结点X和Y，并且他们各自所含的关键字个数分别为：u=大于(m+1)/2的最小整数，v=小于(m+1)/2的最大整数；

由于索引值位于结点的最左端或者最右端，不妨假设索引值位于结点最右端，有如下操作：

如果当前分裂成的X和Y结点原来所属的结点是根结点，则从X和Y中取出索引的关键字，将这两个关键字组成新的根结点，并且这个根结点指向X和Y，算法结束；

如果当前分裂成的X和Y结点原来所属的结点是非根结点，依据假设条件判断，如果a成为Y的新索引值，则转步骤④得到Y的双亲结点P，如果a不是Y结点的新索引值，则求出X和Y结点的双亲结点P；然后提取X结点中的新索引值a’，在P中插入关键字a’，从P开始，继续进行插入算法；

④提取结点原来的索引值b，自顶向下，先判断根是否含有b，是则需要先将b替换为a，然后从根结点开始，记录结点地址P，判断P的孩子是否含有索引值b而不含有索引值a，是则先将孩子结点中的b替换为a，然后将P的孩子的地址赋值给P，继续搜索，直到发现P的孩子中已经含有a值时，停止搜索，返回地址P。

删除：

如果叶子结点中没有相应的key，则删除失败。否则执行下面的步骤

1）删除叶子结点中对应的key。删除后若结点的key的个数大于等于Math.ceil(m/2） – 1，删除操作结束,否则执行第2步。

2）若兄弟结点key有富余（大于Math.ceil(m/2） – 1），向兄弟结点借一个记录，同时用借到的key替换父结（指当前结点和兄弟结点共同的父结点）点中的key，删除结束。否则执行第3步。

3）若兄弟结点中没有富余的key,则当前结点和兄弟结点合并成一个新的叶子结点，并删除父结点中的key（父结点中的这个key两边的孩子指针就变成了一个指针，正好指向这个新的叶子结点），将当前结点指向父结点（必为索引结点），执行第4步（第4步以后的操作和B树就完全一样了，主要是为了更新索引结点）。

4）若索引结点的key的个数大于等于Math.ceil(m/2） – 1，则删除操作结束。否则执行第5步

下面是一颗5阶B树的删除过程，5阶B数的结点最少2个key，最多4个key。

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a）初始状态

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b）删除22,删除后结果如下图

删除后叶子结点中key的个数大于等于2，删除结束

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c）删除15，删除后的结果如下图所示

删除后当前结点只有一个key,不满足条件，而兄弟结点有三个key，可以从兄弟结点借一个关键字为9的记录,同时更新将父结点中的关键字由10也变为9，删除结束。

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d）删除7，删除后的结果如下图所示

当前结点关键字个数小于2，（左）兄弟结点中的也没有富余的关键字（当前结点还有个右兄弟，不过选择任意一个进行分析就可以了，这里我们选择了左边的），所以当前结点和兄弟结点合并，并删除父结点中的key，当前结点指向父结点。

此时当前结点的关键字个数小于2，兄弟结点的关键字也没有富余，所以父结点中的关键字下移，和两个孩子结点合并，结果如下图所示。

5）若兄弟结点有富余，父结点key下移，兄弟结点key上移，删除结束。否则执行第6步

6）当前结点和兄弟结点及父结点下移key合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点，重复第4步。

注意，通过B+树的删除操作后，索引结点中存在的key，不一定在叶子结点中存在对应的记录。

一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于：

• 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。(而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)

• 所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。(而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

B+树比B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？ 

• B+树的磁盘读写代价更低

  B+树的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。

  举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘块。而B+树内部结点只需要1个盘块。当需要把内部结点读入内存中的时候，B 树就比B+树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。

• B+树的查询效率更加稳定

  由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

      数据库索引采用B+树的主要原因是 B树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。正是为了解决这个问题，B+树应运而生。B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）

关系数据库中，索引大多采用B/B+树来作为存储结构，而全文搜索引擎的索引则主要采用hash表的存储结构，为什么？

hash结构的特点：检索效率非常高，索引的检索可以一次到位，O(1)。B树需要从根节点到枝节点，最后才能到叶节点进行多次I/O操作，所以hash的效率远远高于B树的效率。

那么为什么数据库索引还是用B树结构呢？

1、hash索引仅满足“=”、“IN”和“<=>”查询，不能使用范围查询

因为hash索引比较的是经常hash运算之后的hash值，因此只能进行等值的过滤，不能基于范围的查找，因为经过hash算法处理后的hash值的大小关系，并不能保证与处理前的hash大小关系对应。

2、hash索引无法被用来进行数据的排序操作

由于hash索引中存放的都是经过hash计算之后的值，而hash值的大小关系不一定与hash计算之前的值一样，所以数据库无法利用hash索引中的值进行排序操作。

3、对于组合索引，Hash 索引在计算 Hash 值的时候是组合索引键合并后再一起计算 Hash 值，而不是单独计算 Hash 值，所以通过组合索引的前面一个或几个索引键进行查询的时候，Hash 索引也无法被利用。

4、Hash 索引遇到大量Hash值相等的情况后性能并不一定就会比B-Tree索引高。

对于选择性比较低的索引键，如果创建 Hash 索引，那么将会存在大量记录指针信息存于同一个 Hash 值相关联。这样要定位某一条记录时就会非常麻烦，会浪费多次表数据的访问，而造成整体性能低下。

（因此：键值重复率低的适合用B树索引）

         b-tree完全基于key的比较，和二叉树相同的道理，相当于建个排序后的数据集，使用二分法查找算法，实际上也非常快，而且受数据量增长影响非常小

参考博客：https://www.cnblogs.com/nullzx/p/8729425.html