[机器学习速成课程]简化正则化 (Regularization for Simplicity)-学习笔记

L₂ 正则化

请查看以下泛化曲线，该曲线显示的是训练集和验证集相对于训练迭代次数的损失。

图 1. 训练集和验证集损失。

图 1 显示的是某个模型的训练损失逐渐减少，但验证损失最终增加。换言之，该泛化曲线显示该模型与训练集中的数据过拟合。根据奥卡姆剃刀定律，或许我们可以通过降低复杂模型的复杂度来防止过拟合，这种原则称为正则化。

也就是说，并非只是以最小化损失（经验风险最小化）为目标：

而是以最小化损失和复杂度为目标，这称为结构风险最小化：

现在，我们的训练优化算法是一个由两项内容组成的函数：一个是损失项，用于衡量模型与数据的拟合度，另一个是正则化项，用于衡量模型复杂度。

机器学习速成课程重点介绍了两种衡量模型复杂度的常见方式（这两种方式有些相关）：

• 将模型复杂度作为模型中所有特征的权重的函数。（个人理解：将所有Theta作为衡量模型复杂度的对象）
• 将模型复杂度作为具有非零权重的特征总数的函数。（后面的一个单元介绍了这种方法。）（个人理解：将所有X作为衡量模型复杂度的对象）

如果模型复杂度是权重的函数，则特征权重的绝对值越高，模型就越复杂。

我们可以使用 L₂ 正则化公式来量化复杂度，该公式将正则化项定义为所有特征权重的平方和：

在这个公式中，接近于 0 的权重对模型复杂度几乎没有影响，而离群值权重则可能会产生巨大的影响。

例如，某个线性模型具有以下权重：

L₂ 正则化项为 26.915：

但是 w3（上述加粗内容）的平方值为 25，几乎贡献了全部的复杂度。所有 5 个其他权重的平方和对 L₂ 正则化项的贡献仅为 1.915。

L₂ 正则化可能会导致对于某些信息缺乏的特征，模型会学到适中的权重。

L₂ 正则化会使很多信息缺乏的权重接近于（但并非正好是）0.0。

Lambda

模型开发者通过以下方式来调整正则化项的整体影响：用正则化项的值乘以名为 lambda（又称为正则化率）的标量。也就是说，模型开发者会执行以下运算：

执行 L₂ 正则化对模型具有以下影响

• 使权重值接近于 0（但并非正好为 0）
• 使权重的平均值接近于 0，且呈正态（钟形曲线或高斯曲线）分布。

增加 lambda 值将增强正则化效果。 例如，lambda 值较高的权重直方图可能会如图 2 所示。

模型权重分布权重值权重频率

图 2. 权重直方图。

降低 lambda 的值往往会得出比较平缓的直方图，如图 3 所示。

模型权重分布权重值权重频率

图 3. 较低的 lambda 值得出的权重直方图。

在选择 lambda 值时，目标是在简单化和训练数据拟合之间达到适当的平衡：

• 如果您的 lambda 值过高，则模型会非常简单，但是您将面临数据欠拟合的风险。您的模型将无法从训练数据中获得足够的信息来做出有用的预测。

• 如果您的 lambda 值过低，则模型会比较复杂，并且您将面临数据过拟合的风险。您的模型将因获得过多训练数据特点方面的信息而无法泛化到新数据。

注意： 将 lambda 设为 0 可彻底取消正则化。 在这种情况下，训练的唯一目的将是最小化损失，而这样做会使过拟合的风险达到最高。

理想的 lambda 值生成的模型可以很好地泛化到以前未见过的新数据。 遗憾的是，理想的 lambda 值取决于数据，因此您需要手动或自动进行一些调整。

将正则化率lambda从 0 增至 0.3 会产生以下影响：

• 测试损失明显减少。

  注意：虽然测试损失明显减少，训练损失实际上却有所增加。这属于正常现象，因为您向损失函数添加了另一项来降低复杂度。最终，最重要的是测试损失，因为它是真正用于衡量模型能否针对新数据做出良好预测的标准。

• 测试损失与训练损失之间的差值明显减少。
• 特征和某些特征组合的权重的绝对值较低，这表示模型复杂度有所降低。