#数据结构与算法学习笔记#剑指Offer8：普通青蛙跳台阶+变态青蛙跳台阶+最清晰数学归纳法证明（Java、C/C++）

2018.8.3     《剑指Offer》从零单刷个人笔记整理（66题全）目录传送门​​​​​​​

普通青蛙跳台阶问题实际上是一道斐波那契数列的题目，可以直接参考上一篇对斐波那契数列的算法分析和实现的文章——#数据结构与算法学习笔记#剑指Offer7：斐波那契数列的四种编程实现方法 + 测试用例（Java、C/C++）。

变态青蛙跳台阶问题就厉害了，思想其实本质还是斐波那契数列的思想，但是却不需要编程循环或者递归模拟斐波那契的加和过程，只需要用顺推的思想+数学归纳法归纳就可以确定公式    。

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普通跳青蛙题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

变态跳青蛙题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

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普通跳青蛙原理：

斐波那契数列：，其中，、。

思路：由后往前倒推，当青蛙站在第n级台阶时回顾上一步，他到达第n级台阶可以有两种方式：1.从下一级台阶第n-1级往上跳1步，2.从下两级台阶第n-2级往上跳2步。那青蛙到第n级台阶的方法数实际上就等于先通过前两种方式到达上一步的方法数总和。

 

变态跳青蛙公式数学归纳法证明：

我们观察有：、、、……

于是我们猜想：

通过普通跳青蛙原理的延伸，我们可以知道（十分重要）：

数学归纳法证明：

① 当n = 1 时，有

② 假设当n = k时，有

③   

  则当n = k + 1时，

     

  得证。

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普通青蛙跳台阶编程实现：其实就是求斐波那契数列，一共有四种实现方法，可以参考上一篇文章的代码实现，#数据结构与算法学习笔记#剑指Offer7：斐波那契数列的四种编程实现方法 + 测试用例（Java、C/C++），完全一模一样。当然我还是贴出几种来给大家做个参考。

普通青蛙跳台阶Java实现：

/**
 * 
 * @author ChopinXBP 
 * 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。
 * 
 *
 */
public class JumpFloor {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int num = Solve(5);
		int num2 = Solve2(5);
		System.out.println(num);
		System.out.println(num2);
	}

	//迭代法解答，清晰明了，但效率极低
	public static int Solve(int target) {
		if (target < 3)
			return target;

		return Solve(target - 1) + Solve(target - 2);
	}

	// 最佳解答：循环顺推法
	public static int Solve2(int target) {

		if (target == 1 || target == 2) {
			return target;
		}

		// 第一阶和第二阶考虑过了，初始当前台阶为第三阶，向后迭代
		// 思路：当前台阶的跳法总数=当前台阶后退一阶的台阶的跳法总数+当前台阶后退二阶的台阶的跳法总数

		int jumpSum = 0;// 当前台阶的跳法总数
		int jumpSumBackStep1 = 2;// 当前台阶后退一阶的台阶的跳法总数(初始值当前台阶是第3阶)
		int jumpSumBackStep2 = 1;// 当前台阶后退二阶的台阶的跳法总数(初始值当前台阶是第3阶)

		for (int i = 3; i <= target; i++) {

			jumpSum = jumpSumBackStep1 + jumpSumBackStep2;
			jumpSumBackStep2 = jumpSumBackStep1;// 后退一阶在下一次迭代变为后退两阶
			jumpSumBackStep1 = jumpSum; // 当前台阶在下一次迭代变为后退一阶

		}

		return jumpSum;

	}
}

 

普通青蛙跳台阶C++实现参考：

class Solution {
public:
    int jumpFloor(int n) {
        int f=1,g=2;
        n--;
        while(n--)
        {
            g+=f;
            f=g-f;
        }
        return f;
    }
};

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变态青蛙跳台阶编程实现，其实就一行代码的事情。

变态青蛙跳台阶Java实现：

/**
 * 
 * @author ChopinXBP 
 * 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
 * 
 *
 */
public class JumpFloor2 {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int num = Solve(5);
		System.out.println(num);
	}

	//可用数学归纳法证明，f(n) = 2 ^ (n - 1)
	public static int Solve(int target) {

		return (int)Math.pow(2, target - 1);
	}

}

变态青蛙跳台阶C++实现参考：效率超高的位运算。

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
       return  1<<--number;
    }
};

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