电机FOC中的坐标变换(CLARK+PARK+公式推导+仿真+C语言实现)

0 前言

今天获知了,电机FOC包含了SVPWM、坐标转换、信号采集反馈、PID闭环控制等,这个控制策略,统称为FOC控制。一般SVPWM算法的实现是在静止的αβ坐标系上实现。而PID控制器由于是对直流参考信号的跟踪效果较好,因此三相交流电会经过坐标变换,在旋转的dq坐标轴上,可以用直流量描述电枢绕组的合成矢量。

FOC控制中,有两种坐标转换需要注意的,分别是clark变换,和park变换。clark变换将abc坐标系转换为αβ坐标系,而park变换将静止的αβ坐标系转换为旋转的dq坐标系。

1 clark变换

电机FOC中的坐标变换(CLARK+PARK+公式推导+仿真+C语言实现)_第1张图片

其实直接可以把转换公式列出。

\left\{\begin{matrix} U_\alpha=U_a - cos(\pi /3)U_b - cos(\pi /3)U_c \\ U_\beta = sin(\pi/3)U_b-sin(\pi/3)U_c \end{matrix}\right.

写成转换矩阵,就是:

\begin{bmatrix} U_\alpha\\ U_\beta \end{bmatrix} =K \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -1/2\\ 0 & \frac{\sqrt3}{2} & - \frac{\sqrt3}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_a\\ U_b \\ U_c \end{bmatrix}

clark变换的逆变换:

\left\{\begin{matrix} U_a = U_\alpha \\ U_b = cos(2\pi/3)U_\alpha + sin(\pi/3)U_beta \\ U_c = cos(2\pi/3)U_\alpha - sin(\pi/3)U_beta \end{matrix}\right.

写成转换矩阵,就是:

\begin{bmatrix} U_a\\ U_b \\ U_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt3}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt3}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_\alpha\\ U_\beta \end{bmatrix}

将两个转换矩阵相乘,应该是一个单位矩阵,系数K的作用是可以将转换变为等幅值转换或者等功率转换。

K=\frac{2}{3},是等幅值转换;当K=\sqrt\frac{2}{3},是等功率转换。

1.1 matlab仿真

在matlab/simulink中搭建仿真模型:

电机FOC中的坐标变换(CLARK+PARK+公式推导+仿真+C语言实现)_第2张图片

 

abcToAlphabeta中的代码:

function y = fcn(a,b,c)
%#eml


alpha = a - b/2 - c/2;
beta = sqrt(3)/2 * (b - c);
y = (2/3)*[alpha;beta];

alphabetaToABC中的代码:

function y = fcn(alpha,beta)
%#eml

a = alpha;
b = -1/2 * alpha + sqrt(3)/2 * beta;
c = -1/2 * alpha - sqrt(3)/2 * beta;

y = [a;b;c];

仿真波形:

电机FOC中的坐标变换(CLARK+PARK+公式推导+仿真+C语言实现)_第3张图片

我在这里使用的是等幅值变换。因为这里调制系数为1,各个正弦波的幅值都是1。假如使用等功率变换,alphabeta坐标系上的幅值会超过1,此时若直接经过SVPWM算法,会变成过调制。

2 park变换

电机FOC中的坐标变换(CLARK+PARK+公式推导+仿真+C语言实现)_第4张图片

通过几何变换,可以直接得到

\left\{\begin{matrix} U_d=U_\alpha \cos\left ( \theta \right )+U_\beta\sin\left ( \theta \right ) \\ U_q=-U_\alpha \sin\left ( \theta \right )+U_\beta\cos\left ( \theta \right ) \end{matrix}\right.

图中\theta就是d轴和α轴之间的夹角。我们也可以用q轴和α轴之间的夹角进行转换,但是会影响矩阵的参数。故还是采用d轴和α轴之间的夹角。因为我参考了wikipedia的alphabeta transformation和TI的controlSuite里面的资料,都是使用这个夹角去推转换矩阵的。因此不转牛角尖了。

写成矩阵的形式:

\begin{bmatrix} U_d\\ U_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\left ( \theta \right ) & \sin\left ( \theta \right ) \\ -\sin\left ( \theta \right ) & \cos\left ( \theta \right ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_\alpha\\ U_\beta \end{bmatrix}

那么逆变换就是:

\left\{\begin{matrix} U_\alpha=U_d\cos\left ( \theta \right )-U_q\sin\left ( \theta \right ) \\ U_\beta=U_d\sin\left ( \theta \right )+U_q\cos\left ( \theta \right ) \end{matrix}\right.

\begin{bmatrix} U_\alpha\\ U_\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\left ( \theta \right ) & -\sin\left ( \theta \right ) \\ \sin\left ( \theta \right ) & \cos\left ( \theta \right ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_d\\ U_q \end{bmatrix}

2.1 仿真

搭建仿真模型:

电机FOC中的坐标变换(CLARK+PARK+公式推导+仿真+C语言实现)_第5张图片

alphabetaToDQ代码:

function y = fcn(alpha,beta, c)
%#eml
d = cos(c)* alpha + sin(c)*beta;
q = -sin(c)* alpha + cos(c)*beta;

y=[d;q];

DQToAlphabeta代码:

function y = fcn(d,q, c)
%#eml
alpha = cos(c) * d - sin(c)*q;
beta =  sin(c) * d + cos(c)*q;

y=[alpha;beta];

波形:

电机FOC中的坐标变换(CLARK+PARK+公式推导+仿真+C语言实现)_第6张图片

此时注意到:

现在三相abc的波形函数是:

\left\{\begin{matrix} U_a = U_m\cos\left ( \omega t \right ) \\ U_b = U_m\cos\left ( \omega t- \frac{2\pi}{3} \right ) \\ U_c = U_m\cos\left ( \omega t+ \frac{2\pi}{3} \right ) \end{matrix}\right.

假如需要反转,那么把输入改为:

\left\{\begin{matrix} U_a = U_m\cos\left ( \omega t \right ) \\ U_b = U_m\cos\left ( \omega t+ \frac{2\pi}{3} \right ) \\ U_c = U_m\cos\left ( \omega t- \frac{2\pi}{3} \right ) \end{matrix}\right.

同时把仿真模型中的constant改为 -2*pi*10

可以得到:

电机FOC中的坐标变换(CLARK+PARK+公式推导+仿真+C语言实现)_第7张图片

3 C语言

以下代码来自TI的controlSUITE。在此特别鸣谢TI。

3.1 clarke.h

/* =================================================================================
File name:       CLARKE.H  
===================================================================================*/


#ifndef __CLARKE_H__
#define __CLARKE_H__

typedef struct {  _iq  As;  		// Input: phase-a stator variable
				  _iq  Bs;			// Input: phase-b stator variable
				  _iq  Cs;			// Input: phase-c stator variable  
				  _iq  Alpha;		// Output: stationary d-axis stator variable 
				  _iq  Beta;		// Output: stationary q-axis stator variable
		 	 	} CLARKE;	            

/*-----------------------------------------------------------------------------
	Default initalizer for the CLARKE object.
-----------------------------------------------------------------------------*/                     
#define CLARKE_DEFAULTS { 0, \
                          0, \
                          0, \
                          0, \
                          0, \
              			} 

/*------------------------------------------------------------------------------
	CLARKE Transformation Macro Definition
------------------------------------------------------------------------------*/

//  1/sqrt(3) = 0.57735026918963
#define  ONEbySQRT3   0.57735026918963    /* 1/sqrt(3) */
	

// Clarke transform macro (with 2 currents)
//==========================================
#define CLARKE_MACRO(v)										\
v.Alpha = v.As;												\
v.Beta = _IQmpy((v.As +_IQmpy2(v.Bs)),_IQ(ONEbySQRT3));


// Clarke transform macro (with 3 currents)
//==========================================
#define CLARKE1_MACRO(v)									\
v.Alpha = v.As;											    \
v.Beta  = _IQmpy((v.Bs - v.Cs),_IQ(ONEbySQRT3));

#endif // __CLARKE_H__

3.2 park.h

/* =================================================================================
File name:       PARK.H 
===================================================================================*/

#ifndef __PARK_H__
#define __PARK_H__

typedef struct {  _iq  Alpha;  		// Input: stationary d-axis stator variable 
				  _iq  Beta;	 	// Input: stationary q-axis stator variable 
				  _iq  Angle;		// Input: rotating angle (pu) 
				  _iq  Ds;			// Output: rotating d-axis stator variable 
				  _iq  Qs;			// Output: rotating q-axis stator variable
				  _iq  Sine;
				  _iq  Cosine; 	 
		 	 	} PARK;	            

/*-----------------------------------------------------------------------------
Default initalizer for the PARK object.
-----------------------------------------------------------------------------*/                     
#define PARK_DEFAULTS {   0, \
                          0, \
                          0, \
                          0, \
                          0, \
						  0, \
                          0, \
              			  }

/*------------------------------------------------------------------------------
	PARK Transformation Macro Definition
------------------------------------------------------------------------------*/


#define PARK_MACRO(v)											\
																\
	v.Ds = _IQmpy(v.Alpha,v.Cosine) + _IQmpy(v.Beta,v.Sine);	\
    v.Qs = _IQmpy(v.Beta,v.Cosine) - _IQmpy(v.Alpha,v.Sine);

#endif // __PARK_H__

3.3 ipark.h

/* =================================================================================
File name:       IPARK.H   
===================================================================================*/

#ifndef __IPARK_H__
#define __IPARK_H__

typedef struct {  _iq  Alpha;  		// Output: stationary d-axis stator variable
				  _iq  Beta;		// Output: stationary q-axis stator variable
				  _iq  Angle;		// Input: rotating angle (pu)
				  _iq  Ds;			// Input: rotating d-axis stator variable
				  _iq  Qs;			// Input: rotating q-axis stator variable
				  _iq  Sine;		// Input: Sine term
				  _iq  Cosine;		// Input: Cosine term
		 	    } IPARK;	            

/*-----------------------------------------------------------------------------
Default initalizer for the IPARK object.
-----------------------------------------------------------------------------*/                     
#define IPARK_DEFAULTS {  0, \
                          0, \
                          0, \
                          0, \
                          0, \
						  0, \
                          0, \
              		   }

/*------------------------------------------------------------------------------
	Inverse PARK Transformation Macro Definition
------------------------------------------------------------------------------*/


#define IPARK_MACRO(v)										\
															\
v.Alpha = _IQmpy(v.Ds,v.Cosine) - _IQmpy(v.Qs,v.Sine);		\
v.Beta  = _IQmpy(v.Qs,v.Cosine) + _IQmpy(v.Ds,v.Sine);

#endif // __IPARK_H__

小结

坐标变换在FOC中也是重要的部分。本文介绍了clark变换和park变换。这两种变换其实在网上资料十分丰富了。但在这里还是写了一遍。一方面是贡献自己的能力,另一方面是满足自己的收藏癖。假如需要重新编程,那么我还是会重新找出资料。但是目前TI的资料也很丰富,我往下在实物上实现FOC的话,估计会从现有的代码上修改。

现在干活都做LED了,看维基上面的clarke变换,让我想起了以前的日子。以前没搞懂的坐标公式和PID公式,多推几遍,现在也越来越熟悉了。

 

参考资料1:https://en.wikipedia.org/wiki/Alpha%E2%80%93beta_transformation

参考资料2:http://www.ti.com/controlsuite

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