Optimazation Part1
1.Lingo output results
- Reduced cost: 给出最优的单纯形表中目标函数行（第一行）中变量对应的系数（即各个变量的检验数）。其中基变量的reduced cost一定为0；对于非基变量（注意：非基变量本身取值一定为0），相应的reduced cost值表示当该非基变量增加一个单位（其他非基变量保持不变）时目标函数减少的量（对于max型问题）。
- Slack or Surplus（松弛或剩余）：给出约束对应的松弛变量的值：若松弛变量为0，约束取等号，即为紧约束。
- Dual Prices: 表示当对应约束有微小变动时，目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。若其数值为p，表示对应约束中不等式右端项若增加一个单位，目标函数增加p个单位（max型问题）。显然，如果在最优解处约束正好取等号（紧约束，即起作用约束），对偶价格值才可能不是0。
- Reports|Range: 敏感性分析， 作用是给出“ranges in which the basis is unchanged”，即研究当目标函数的系数和约束右端项在什么范围变化（此时假定其他系数保持不变）时，最优基（矩阵）保持不变。这个部分包含两方面：
（1）目标函数中系数的变化范围（Objective Coefficient Ranges）：
当系数在[current coefficient+allowable decrease, current coefficient+allowable increase] 的范围变化时，最优基、最优解保持不变。但由于系数发生了变化，所以最优值会变化。
（2）约束右端项变化的范围（Righthand Side Ranges）：
当系数在[current RHS+allowable decrease, current RHS+allowable increase] 的范围变化时，最优基保持不变，但是最优解、最优值发生变化。
施工中
-
Example 1
!lingo
max = 72*x1 + 64*x2;
x1 +x2<=50;
12*x1+8*x2<=480;
3*x1<=100;
x1>=0;
x2>=0;
-
Results of Example 1
Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 SOURCE 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 WORKLOAD 40.00000 0.000000 X1_POS 20.00000 0.000000 X2_POS 30.00000 0.000000 **Ranges in which the basis is unchanged**: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease SOURCE 50.00000 10.00000 6.666667 TIME 480.0000 53.33333 80.00000 WORKLOAD 100.0000 INFINITY 40.00000 X1_POS 0.0 20.00000 INFINITY X2_POS 0.0 30.00000 INFINITY
- 3个约束条件可以视作3种资源： 原料、劳动时间、车间甲的加工能力。Slack and surplus 结果显示workload尚有40kg加工能力，因此不是紧约束。
- 目标函数可以看做为“效益”，当成为紧约束的“资源”一旦增加，“效益”必然跟着增长。Dual price 结果显示在最优解下“资源”增加一个单位时，“效益”的增量：即source增加1，利润增长48；time增加1，利润增长2。这里“效益”的增量可以看做“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格（shadow price），即source的影子价格为48，time的影子价格为2，workload的影子价格为0。
- 根据objective coefficient ranges，x1的系数范围为[64, 96], x2的系数范围为[48, 72]时，最优基不变，但最优解改变了。For example，cof（x1）变成90，最优基不变，但是optimum = 90 * 20 + 64 * 30 = 3720。
image.png