常微分方程的数值求解

常微分方程

首先理解一下什么是常微分方程,简单的说就是只有一个未知数的微分方程,具体定义如下:
凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。
一阶常微分方程的初值问题是:

{y′=f(x,y),y(x0)=y0, { y ′ = f ( x , y ) , y ( x 0 ) = y 0 ,

其中 y=y(x) y = y ( x ) 是未知函数, y(x0)=y0 y ( x 0 ) = y 0 是初值条件,而 f(x,y) f ( x , y ) 是给定的二元函数

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简单的数值方法和欧拉公式

简单的数值方法就是用差商代替导数,公式如下:

yn+1=yn+hf(xn,yn)(n=0,1,2,⋯) y n + 1 = y n + h f ( x n , y n ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ )

其中 h h 是步长;
改进的欧拉方法:

{y¯n+1=yn+hf(xn,yn)yn+1=yn+h2[f(xn,yn)+f(xn+1,y¯n+1)]预测校正 { y ¯ n + 1 = y n + h f ( x n , y n ) 预测 y n + 1 = y n + h 2 [ f ( x n , y n ) + f ( x n + 1 , y ¯ n + 1 ) ] 校正

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龙格-库塔(Runge-Kutta)方法

欧拉方法是龙格-库塔方法的一个特例,其局部截断误差为一阶泰勒余项 O(h2) O ( h 2 ) ,为了使误差更小,我们可以做更高阶的误差截断,这也就是我们Runge-Kutta方法的基本原理,具体推导可参考《数值分析》的第八章.其公式如下:

⎧⎩⎨⎪⎪yn+1=yn+h∑ri=1ciKi,K1=f(xn,yn),Ki=f(xn+λih,yn+h∑i−1j=1uijKj)(i=2,3,⋯,r), { y n + 1 = y n + h ∑ i = 1 r c i K i , K 1 = f ( x n , y n ) , K i = f ( x n + λ i h , y n + h ∑ j = 1 i − 1 u i j K j ) ( i = 2 , 3 , ⋯ , r ) ,

当r=1时就是欧拉方法,当r=2时,就是改进的欧拉方法,这里我们不做具体推导,而是看一下matlab中封装好的4阶Runge-Kutta方法的函数实现ode45函数.

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ode45

先看一个简单的例子: dydx=y+3xx2 d y d x = y + 3 x x 2 ,初值 y(0)=−2 y ( 0 ) = − 2 ,求解区间为 [14] [ 1 4 ] ,代码如下:

odefun=@(x,y) (y+3*x)/x^2;
tspan=[1 4];
y0=-2;
[x y]=ode45(odefun,tspan,y0)
plot(x,y)

但是我们再看另外一个例子:

{y′=yx−2y20y(0)=0 { y ′ = y x − 2 y 2 0

我们编写如下代码:

odefun=@(x,y) y/x-2*y^2;
tspan=[0 3];
y0=0;
[x y]=ode45(odefun,tspan,y0)
plot(x,y)
disp(y)

发现没有数值解

于是我们把代码进行了如下修改:

odefun=@(x,y) fun(x,y);
tspan=[0 3];
y0=0;
[x y]=ode45(odefun,tspan,y0);
plot(x,y)

function dy = fun(x,y)
if(x==0)
    dy=1-2*y^2
else
    dy = y/x-2*y^2
end
end

这里需要强调一点的是,Runge-Kutta法针对的是连续的函数 f f ,由于在例子中,函数在 x=0 x = 0 处是不连续的,所以在这个地方是需要单独处理的,在这里, yx y x 在 x=0 x = 0 处的导数为1(洛必达法则,即 00=1 0 0 = 1 )