p级数敛散性积分方式证明

同济大学出版的高等数学无穷级数这一章，关于常数项级数的审敛法，证明p级数敛散性问题，对其积分法不甚明了，所以记录下自己思索的过程：

讨论p级数：

1+12p+13p+.....+1np+.... 1 + 1 2 p + 1 3 p + . . . . . + 1 n p + . . . .

的收敛性，其中常数 p p >0

第一个问题用比较审敛法很好证明，我顺利的明白了。
即当 p≤1 p ≤ 1 时，有 1np≥1n 1 n p ≥ 1 n ,调和级数是发散的，按照比较审敛法：
若 vn v n 是发散的，在n>N,总有 un≥vn u n ≥ v n ,则 un u n 也是发散的。
调和级数 1n 1 n 是发散的，那么p级数也是发散的~！

第二个条件则证明变得繁琐：

当p>1时，证明的思路大概就是对于每一个整数，我们取一个邻域区间，使邻域区间
x∈[k,k−1] x ∈ [ k , k − 1 ] 使得某个函数在 [k,k−1] [ k , k − 1 ] 邻域区间内的积分小于 1xp 1 x p 在这个邻域区间的积分。然后目的当然是通过积分求指数原函数解决问题。

这个证明的比较函数取的很巧妙，，令 k−1≤x≤k k − 1 ≤ x ≤ k ,那么 1kp≤1xp 1 k p ≤ 1 x p .
利用比较审敛法的感觉，应该找一个比p级数的一般式大的收敛数列，证明p级数收敛。这个就有点反套路了。

1kp=∫kk−11kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫kk−11xp 1 k p = ∫ k − 1 k 1 k p d x ( 这 里 是 对 x 积 分 而 不 是 k ) ≤ ∫ k − 1 k 1 x p

其中 （k=2,3....） （ k = 2 , 3.... ）

讨论级数和,用k的形式代表p级数，并且用一个大于它的函数来求得极限。

sn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫k−1k1xp=1+∫n11xpdx s n = 1 + ∑ k = 2 n 1 k p （ p 级 数 ） ≤ 1 + ∑ k = 2 n ∫ k k − 1 1 x p = 1 + ∫ 1 n 1 x p d x

这里利用积分区间的可加性:

∫D1f(x)dx+∫D2f(x)dx=∫D1+D2f(x)dx ∫ D 1 f ( x ) d x + ∫ D 2 f ( x ) d x = ∫ D 1 + D 2 f ( x ) d x

求一下初等函数的原函数就搞定了！呵呵，只能说这个思路不太容易想到。