【规划问题】-------线性规划

线性规划可以说是规划问题里最简单的一种规划了， 他没有太多的细节分类， 其特点就是 ： 目标函数， 约束条件都是线性方程（一次方程）， 然后求目标函数的最大最小值，通常解决生产计划问题和运输问题；

三个基本要素

1、决策变量（decision variables);
2、约束条件（constraints);
3、目标函数（objective function)

matlab里linprog函数

在matlab里标准格式为：

min  f' . x
s.t.
               A·x <= b
              Aeq·x = beq
              lb <= x <= ub
其中 ，b,beq均为向量，A,Aeq为矩阵，x为向量变量.矩阵A和向量b是线性不等式约束条件的系数， Aeq和beq是等式约束条件的系数.

linprog函数的使用

x = linprog(f,   A, b,  Aeq,beq ,lb, ub)  //这里面传参都直接传列向量

PS：如果建模与标准形式不同则左右乘以-1让   >= 变成 <= 就好了，同理 max 变 min， 如果没有等式限制把Aeq，beq用[][],代替就好

在ACM/ICPC解决方法通常是利用差分约束算法进行解决， 而在数模竞赛则注重解决实际问题，所以在matlab里也提供了相关函数供大家使用，此文主要用matlab解决一系列问题

例1：                    

max    P=5 X1 + 3 X2
s.t.       2 X1 + X2 ≤ 40 

            X1 + 2 X2 ≤ 50

            X1≥0, X2≥0
     

 f = -[5; 3];
 A = [2, 1; 1, 2];
 b = [40; 50];
 lb = zeros(2, 1);
[x, ans] = linprog(f, A, b,[],[],lb);
 x, ans = -ans
输出：x =
   10.0000
   20.0000
ans =
    110.0000

例2：

min z = |x1| + 2*|x2| + 3*|x3| + 4*|x4|,

s.t.   x1 - x2 - x3 +x4 <= -2;

        x1 - x2 +x3 -3*x4 <= -1;
x1 - x2 - 2* x3 +3* x4 <= -0.5;

解析参照数学建模算法与应用（司守奎版）P4页；

定理：

对于任意的x，存在u，v大于0，满足 x = u - v, |x| = u + v; 只要让 u = (x - |x|)/2; v = (|x| - x)/2;就好

代码：

 f = 1:4;
f = [f, f]';
A = [1, -1, -1, 1; 1, -1, 1, -3; 1, -1, -2, 3];
b = [-2, -1, -0.5];
A = [A, -A];
lb = zeros(8, 1);
[x, ans] = linprog(f, A, b, [],[], lb);
ans, y = x(1:4) - x(5:end)

输出：
ans =
    2.0000
y =
   -2.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000

  数学建模算法与应用（司守奎版）P6页模型一代码

a = 0;
hold on;
while a < 0.05
f = -[0.05; 0.27; 0.19; 0.185; 0.185];
A = [zeros(4, 1), diag([0.025, 0.015, 0.055, 0.026])];
b = a * ones(4, 1);
Aeq = [1, 1.01, 1.02, 1.045, 1.065];
beq = 1;
lb = zeros(5, 1);
[x, ans] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb);
ans = -ans;
plot(a, ans, ' *k');
a = a + 0.001;
end