高数-（01）函数与极限

1.1  函数及其性质

映射：非空集合X、Y，若存在一个法则f，使X中每个元素x在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射。

         （单射、满射、双射、逆映射、复合映射）

函数：D为实数集，则映射 为定义在D上的函数。

         （定义域对应的函数值只有一个的函数为单值函数，否则为多值函数）

           疑问：多值函数（如：）为一对多的映射情况，可这种映射不符合映射的定义，故多值函数还算函数麽？

           函数特性：单调性、有界性、奇偶性、周期性。

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1.2  数列的极限

数列极限：设有数列及常数a，若，当时有  成立，则称a是数列的极限或称收敛于a。

                     记为   ，其几何解释为所有下标大于N的项都落在a的邻域内。

                     (数列极限的定义只能验证，不能求解)

                     数列极限性质：唯一性、有界性、保号性。

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1.3  函数的极限

函数极限：(1) 自变量趋于无穷大时

                           设f(x)定义在上，A是一个确定的数，

                           若，使当|x| > X时，恒有|f(x) - A|<，则称A是f(x)当时的极限。

                           记为    

                  (2) 自变量趋于有限值时

                           设f(x)在的某去心邻域内有定义，A是一个确定的数，

                           若，使当时，恒有|f(x) - A|<，则称A是f(x)当时的极限。

                           记为    

                           (左极限、右极限)

                 （函数极限证明通过定义，与数列极限证明同理）

                  函数极限性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。

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1.4  极限的运算法则

函数极限四则运算法则：若  ,  , 则

                                        (1)  

                                        (2) 

                                        (3) 

数列极限四则运算法则：与函数法则同理。

复合函数极限运算法则：  

常用结论：  (1)                    (2)   

                      (3)                   (4) 

                      (5) P(x),Q(x)为多项式函数，求     若  ，则 

                                                                                                    若, 则把P(x),Q(x)因式分解约去公因式后再处理

                                                                                                    若，, 则  

                      (6) 一般地，当，m和n为非负整数时有 (分子分母同除)

                                                                                                                                                                 ,  当n=m

                                                                                              0     ,  当n>m

                                                                                                                                                                 ,  当n

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1.5  极限存在准则  两个重要极限

(1) 夹逼准则：在给定的变化过程中，如果g(x),f(x),h(x)满足  (1)                                    则 。

                                                                                                        (2) 

(2) 单独有界准则：单调有界数列必有极限（单调递增（减）数列只需上（下）有界）

(3) Cauchy收敛准则：数列{}收敛的充分必要条件时 

                                    ,使得当 m > N , n > N时，有 。

                                    满足上述条件的数列也称Cauchy数列或基本数列。

(4) 第一重要极限： 

(5) 第二重要极限：

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1.6 无穷小与无穷大

无穷小：若  ,    则称f(x)当  时为无穷小。（如  ）

                若，当时 |f(x)| < ，则称f(x)当时为无穷小。

                (1) 数 "0" 是无穷小量。

               (2) 无穷小并不是一个很小的数，其是一类特殊函数，是在某一变化过程中极限为0的函数，并且在一个过程中为无穷小                        的量在另一过程中可能不是无穷小量。 

               (3)  , 其中 。

无穷大：若  ,    则称f(x)当  时为无穷大。（如 ）

                若，当时 |f(x)| > M，则称f(x)当时为无穷大。

                (1) 无穷大是变量，不能与很大的数混淆。

                (2) 切勿将  认为极限存在。

二者关系：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小。反之，如果f(x)为无穷小，且 ，则为无穷大。

定理：(1) 有限个无穷小的代数和（乘积）仍为无穷小（无限个无穷小的代数和未必是无穷小；n 个  为1）。

           (2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

           (3) 有限个无穷大的乘积是无穷大（两个无穷大的和与差不一定是无穷大；） 。

           (4) 无穷大与有界函数之和是无穷大（无穷大与有界函数乘积不一定无穷大；）。

无穷小阶：设  , 且。

                  (1) 如果, 就说是比高阶的无穷小；

                  (2) 如果, 就说是比低阶的无穷小；    

                  (3) 如果, 就说与是同阶的无穷小；

                  (4) 如果, 就说与是等价的无穷小；

                  (5) 如果, 就说是比的k阶的无穷小；

等价无穷小替换定理：设 , 且   存在，则  。

                                     (1) 等价无穷小代换只适用于乘积中（代数和或复合函数不可应用）；

                                     (2) 常用等价无穷小（当  时）

                                          sin x  x ,                  tan x  x                  arcsin x  x                 arctan x x

                                          ln(1+x)  x                -1   x                   1-cos x                   

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1.7 函数连续

函数连续定义：设函数y=f(x)在点的某一邻域内有定义，，则函数f(x)在处连续。