组合数学引论

组合数学引论

许胤龙、孙淑玲

一、鸽巢原理

Ramsey数

习题

二、排列组合

加/减法原理、乘/除法原理

排列

从 n n 元集合 S S 中选出 r r 个元素将其按次序排列。其数目用 Arn A n r 或 P(n,r) P ( n , r ) 表示。
Arn=n!(n−r)! A n r = n ! ( n − r ) !

组合

从 n n 元集合 S S 中选出 r r 个元素将其无序排列。其数目用 Crn C n r 或 (nr) ( n r ) 表示。
Crn=n!r!(n−r)! C n r = n ! r ! ( n − r ) !

多重集合排列

前面讲的排列问题中认为 n n 个元素互不相同，若允许排列的对象有相同的元素，就是多重排列问题。
多重集合的表示方法为 M={ki⋅ai|i=1,...,n} M = { k i ⋅ a i | i = 1 , . . . , n }
全无穷多重集合 M={∞⋅ai|i=1,...,n} M = { ∞ ⋅ a i | i = 1 , . . . , n } 的 r r 排列数为 nr n r 。
全有穷多重集合 M={ki⋅ai|i=1,...,n} M = { k i ⋅ a i | i = 1 , . . . , n } 的全排列数为 (∑iki)!∏iki! ( ∑ i k i ) ! ∏ i k i !

多重集合组合

从多重集合 M M 中无序地选出 r r 个元素。
全无穷多重集合 M={∞⋅ai|i=1,...,n} M = { ∞ ⋅ a i | i = 1 , . . . , n } 的 r r 组合数为 Crn+r−1 C n + r − 1 r 。

习题

三、二项式系数

Newton二项式定理

组合恒等式

多项式定理

多项式系数 (nn1n2...nk) ( n n 1 n 2 . . . n k )

习题

四、容斥原理

推广的容斥原理

应用

全有限多重集合的 r r 组合数

错牌问题

单重，相比于后面的menage问题

有禁止模式的排列问题

有限制位置的排列，棋子多项式

Mobius反演，可重复圆排列

Mobius函数

n=∏i=1kplii,μ(n)=⎧⎩⎨10(−1)rn=1∃i,li>1∀i,li=1 n = ∏ i = 1 k p i l i , μ ( n ) = { 1 n = 1 0 ∃ i , l i > 1 ( − 1 ) r ∀ i , l i = 1

五、生成函数

G{an}=∑n=0∞anxn G { a n } = ∑ n = 0 ∞ a n x n

随机过程中也学到过这个生成函数/母函数，联系微积分，其实就是Laplace变换或 Z Z 变换

形式幂级数

将变量 x∈R x ∈ R 视为抽象符号（？？？）后的 G{an} G { a n }
对 R R 上的形式幂级数全体 R[[x]] R [ [ x ] ] 定义
加法：
乘法：
于是