(Atcoder-AGC034D)Manhattan Max Matching

题目

Atcoder
有一个无限大的平面，有 $2n$ 个位置上面有若干个球（可能重复），其中N个位置是红球，N个位置是蓝球，红球与蓝球的总数均为 $s$。
给出 $2n$ 个位置和上面的球数，现要将红球与蓝球完美匹配，匹配的权值是每一对匹配两个球的位置坐标的曼哈顿距离之和，求最大权值。
$n\le 1000$，每个位置上球数 $c_i\le 10$，$1\le x_i,y_i\le 10^9$

思路

思路非常巧妙
首先我们可以考虑两两连边跑费用流，但是边数是 $O(n^2)$ 的，会TLE
考虑优化建图
我们知道曼哈顿距离是这样的：
$di{s}_{ij}=|x_i-x_j|+|y_i-y_j|$
考虑将 $di{s}_{ij}$
$$\begin{gathered} di{s}_{ij}=|x_i-x_j|+|y_i-y_j|= \\ max(x_i+y_i-x_j-y_j,x_i-y_i-x_j+y_j,-x_i+y_i+x_j-y_j,-x_i-y_i+x_j+y_j) \end{gathered}$$
我们知道，合法的情况一定是最大的，而这上面四种情况描述的两个点的相对关系
两个点的相对关系有4种，于是我们分类连边即可
因为又是最大费用，那么跑出来的一定是答案
(如果求最小权值还不能这样做，因为不一定对应合法情况),这样就是 $O(n)$ 的建边，可过。

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
using namespace std;
int read(){
	int f=0,x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||'9'<c){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
	while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return f?-x:x;
}
#define MAXN 5000
#define MAXM 100000
#define INF 0x3f3f3f3f
struct Edge{
	int nxt,v,cap,w;
}edge[MAXM+5];
int ncnt=-1,head[MAXN+5];
void Addedge(int u,int v,int cap,int w){
	edge[++ncnt]=(Edge){head[u],v,cap,w},head[u]=ncnt;
	edge[++ncnt]=(Edge){head[v],u,0,-w},head[v]=ncnt;
	return ;
}
int N,S,T;
bool vis[MAXN+5];
int cur[MAXN+5];
LL dep[MAXN+5];
bool BFS(){
	queue<int> Q;
	for(int i=0;i<=N;i++)
		vis[i]=0,dep[i]=1ll*10000*INF;
	dep[S]=0,vis[S]=1,Q.push(S);
	while(!Q.empty()){
		int u=Q.front();Q.pop();
		vis[u]=0;
		for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt){
			int v=edge[i].v,cap=edge[i].cap,w=edge[i].w;
			if(cap&&dep[v]>dep[u]+w){
				dep[v]=dep[u]+w;
				if(!vis[v])
					vis[v]=1,Q.push(v);
			}
		}
	}
	return dep[T]<1ll*10000*INF;
}
LL cost;
int DFS(int u,int aug){
	if(u==T) return aug;
	vis[u]=1;
	int flow=0,f;
	for(int i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].nxt){
		cur[u]=i;
		int v=edge[i].v,cap=edge[i].cap,w=edge[i].w;
		if(!vis[v]&&dep[v]==dep[u]+w&&cap&&(f=DFS(v,min(cap,aug)))){
			aug-=f,flow+=f,cost+=1ll*f*w;
			edge[i].cap-=f,edge[i^1].cap+=f;
			if(!aug) break;
		}
	}
	vis[u]=0;
	return flow;
}
#define Flow 0x3f3f3f3f
void Dinic(){
	//int Max_Flow=0;
	while(BFS())
		memcpy(cur,head,sizeof(head)),DFS(S,Flow);
	return ;
}
int main(){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	int n=read();
	N=2*n+6,S=2*n+1,T=2*n+2;
	int n1=2*n+3,n2=2*n+4,n3=2*n+5,n4=2*n+6;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=read(),y=read(),c=read();
		Addedge(S,i,c,0);
		Addedge(i,n1,INF,-x-y);
		Addedge(i,n2,INF,-x+y);
		Addedge(i,n3,INF,x-y);
		Addedge(i,n4,INF,x+y);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=read(),y=read(),c=read();
		Addedge(n+i,T,c,0);
		Addedge(n1,n+i,INF,x+y);
		Addedge(n2,n+i,INF,x-y);
		Addedge(n3,n+i,INF,-x+y);
		Addedge(n4,n+i,INF,-x-y);
	}
	Dinic();
	printf("%lld\n",-cost);
    return 0;
}

思考

还是那句话，网络流的题要多做才能有建图技巧