北京大学1996年数学分析考研试题参考解答
1 ($25'$) 判断下列命题的真伪:
(1) 对数列 $\sed{a_n}$ 作和 $\dps{S_n=\sum_{k=1}^n a_k}$, 若 $\sed{S_n}$ 是有界数列, 则 $\sed{a_n}$ 是有界数列.
解答: 对. 因为 $$\bex |a_n|\leq |S_n-S_{n-1}|\leq |S_n|+|S_{n-1}|. \eex$$ (2) 数列 $\sed{a_n}$ 存在极限 $\dps{\lim_{n\to\infty}a_n=a}$ 的充要条件是: 对任一正整数 $p$, 都有 $\dps{\lim_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0}$.
解答: 错. 比如数列 $\dps{a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}$.
(3) 设 $f(x)$ 是 $[a,+\infty)$ 上的递增连续函数. 若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界, 则 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续.
解答: 对. 由题意易知 $\dps{\lim_{x\to+\infty}f(x)=A}$ 存在, 而有结论.
(4) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且在 $(a,b)$ 上可微, 若存在极限 $\dps{\lim_{x\to a+0}f(x)=\ell}$, 则右导数 $\dps{f_+'(a)}$ 存在且等于 $\ell$.
解答: 对. 因为 $$\bex f_+'(a)=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to +\infty}f'(\xi_x)=\ell. \eex$$ (5) 若 $f(x)$ 是 $[a,+\infty)$ 上的非负连续函数, 且积分 $\dps{\int_a^{+\infty}f(x)\rd x}$ 收敛, 则 $\dps{\lim_{x\to +\infty}f(x)=0}$.
解答: 错. 比如对函数 $$\bex f(x)=\left\{\ba{ll} 1-2^n|x-n|,&|x-n|\leq\frac{1}{2^n},\\ 0,&\mbox{其他} \ea\right. \eex$$ 有 $$\bex \int_0^{+\infty}f(x)\rd x=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}=1,\quad \lim_{n\to\infty}f(n)=1\neq 0=\lim_{n\to\infty}f\sex{n\pm\frac{1}{2}}. \eex$$
2 ($13'$) 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可微, $f(a)\neq0$, 求极限 $\dps{\lim_{n\to\infty}\sez{\frac{f\sex{a+\frac{1}{n}}}{f(a)}}^n}$.
解答: $$\beex \bea \lim_{n\to\infty}\sez{\frac{f\sex{a+\frac{1}{n}}}{f(a)}}^n &=\lim_{n\to\infty}\sed{\sez{1+\frac{f\sex{a+\frac{1}{n}}-f(a)}{f(a)}}^{\frac{f(a)}{f\sex{a+\frac{1}{n}}-f(a)}}}^{\frac{f\sex{a+\frac{1}{n}}-f(a)}{\frac{1}{n}}\cdot\frac{1}{f(a)}}\\ &=e^\frac{f'(a)}{f(a)}. \eea \eeex$$
3 ($20'$)
(1) 求幂级数 $\dps{\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}\ (|x|<1)}$ 的和.
(2) 求级数 $\dps{\sum_{n=1}^\infty \frac{2n}{3^n}}$ 的和.
解答: (1) $$\bex \sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty (x^n)'=\sex{\sum_{n=1}^\infty x^n}' =\sex{\frac{1}{1-x}-1}'=\frac{1}{(1-x)^2}. \eex$$ (2) $$\bex \sum_{n=1}^\infty\frac{2n}{3^n} =\frac{2}{3}\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}|_{x=\frac{1}{3}} =\frac{2}{3}\frac{1}{\sex{1-\frac{1}{3}}^2} =\frac{3}{2}. \eex$$
4 ($12'$) 求积分 $\dps{I=\iiint_D (x+y+z)\rd x\rd y\rd z}$ 的值, 其中 $D$ 是由 平面 $x+y+z=1$ 以及三个坐标面围成的区域.
解答: $$\bex I=\int_0^1 \rd x\int_0^{1-x}\rd y\int_0^{1-x-y}(x+y+z)\rd z =\frac{1}{8}. \eex$$
5 ($20'$) 设 $a_n\neq 0\ (n=1,2,\cdots)$ 且 $\dps{\lim_{n\to\infty}a_n=0}$. 若极限 $\dps{\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\ell}$, 证明: $|\ell|\leq 1$.
证明: 用反证法. 若 $|\ell|\leq 1$, 则由 $\dps{\lim_{n\to\infty}\sev{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=|\ell|}$ 知存在 $N$, 使得当 $n\geq N$ 时, $|a_{n+1}|\geq |\ell| \cdot |a_n|$. 于是 $$\bex |a_n|\geq |\ell|\cdot |a_{n-1}|\geq \cdots\geq |\ell|^{n-N}|a_N|. \eex$$ 令 $n\to\infty$ 有 $\dps{\lim_{n\to\infty}|a_n|=+\infty}$. 这是一个矛盾. 故有结论.
6 ($10'$) 设在 $[a,b]$ 上, $f_n(x)$ 一致收敛于 $f(x)$, $g_n(x)$ 一致收敛于 $g(x)$. 若存在正数列 $\sed{M_n}$, 使得对任意 $x\in [a,b]$, $n=1,2,\cdots$, 有 $|f_n(x)|\leq M_n,\ |g_n(x)|\leq M_n$. 证明: $f_n(x)g_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)g(x)$.
证明: 由 $f_n\rightrightarrows f, g_n\rightrightarrows g$ 知存在 $N$, 使得当 $n\geq N$ 时, $$\bex |f_n-f|\leq\frac{1}{2},\quad |g_n-g|\leq\frac{1}{2}. \eex$$ 于是 $$\beex \bea |f_n|&\leq |f_n-f|+|f-f_N|+|f_N|\\ &\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+M_N\\ &=1+M_N;\\ |g_n|&\leq 1+M_N. \eea \eeex$$ 故当 $n\geq N$ 时, $$\beex \bea &\quad\sup_{x\in [a,b]}|f_n(x)g_n(x)-f(x)g(x)|\\ &\leq \sup_{x\in [a,b]} |[f_n(x)-f(x)]g_n(x)| +\sup_{x\in [a,b]}|f(x)[g_n(x)-g(x)]|\\ &\leq (1+M_N)\sup_{x\in [a,b]}|f_n(x)-f(x)| +(1+M_N)\sup_{x\in [a,b]}|g_n(x)-g(x)|\\ &\quad\sex{|f|\leq |f-f_N|+|f_N|\leq 1+M_N}\\ &\leq (1+M_N)\sez{\sup_{x\in [a,b]}|f_n(x)-f(x)|+\sup_{x\in [a,b]}|g_n(x)-g(x)|}\\ &\to 0\quad(n\to\infty). \eea \eeex$$