华南理工大学2007年高等代数考研试题参考解答

1 ($10'$) 假设 $\bbP$ 为任意个顶的一个数域而 $\bbC$ 为复数域, $f(x)$ 为 $\bbP$ 上的次数大于 $0$ 的多项式. 证明如果 $f(x)$ 在 $\bbP$ 上没有重因式, 那么 $f(x)$ 在 $\bbC$ 上没有重根.

证明: 因 $f(x)$ 在 $\bbP$ 上没有重因式, 而 $f(x)$, $f'(x)$ 在 $\bbP$ 上互素, 即 $$\bex (f(x),f'(x))_\bbP=1.\eex$$ 于是存在 $\bbP$ 上的多项式 $u(x),v(x)$, 使得 $$\bex u(x)f(x)+v(x)f'(x)=1. \eex$$ 由此, $f(x),f'(x)$ 也在 $\bbC$ 上互素, 即 $$\bex (f(x),f'(x))_\bbC=1. \eex$$ 这说明 $f(x)$ 在 $\bbC$ 上没有重根\footnote{$\bbC$ 上的不可约多项式仅为一次多项式.}.

 

2($10'$) 将复数域 $\bbC$ 看成为实数域 $\bbR$ 上的线性空间. 对于 $\alpha,\beta\in \bbC$, 定义 $$\bex f(\alpha,\beta)=\alpha\bar\beta+\bar\alpha\beta. \eex$$ 问 $f$ 是否是一个内积? 为什么?

证明: 是. 因为

(1)$f(k\alpha+l\beta,\gamma)=kf(\alpha,\gamma)+lf(\beta,\gamma)$, $\forall\ k\in\bbR$, $\forall\ \alpha,\beta,\gamma\in \bbC$.

(2)$f(\alpha,\beta)=f(\beta,\alpha)$.

(3) $f(\alpha,\alpha)=0\lra \alpha=0$.

 

 

3($10'$) 设 $\dps{A=\sex{\ba{cccc}1&2&4&11\\ 0&2&4&13\\ 0&0&4&17\\-1&-2&0&7 \ea}}$, $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$, $f(x)=xAx'$. 问 $f(x)$ 是否是一个正定二次型? 为什么?

解答: $f$ 的矩阵为 $$\bex B=\frac{A+A'}{2}=\sex{\ba{cccc} 1&1&2&5\\ 1&2&2&\frac{11}{2}\\2&2&4&\frac{17}{2}\\ 5&\frac{11}{2}&\frac{17}{2}&7\ea}. \eex$$ 算出其顺序主子式为 $$\bex 1,\quad \sev{\ba{cc}1&1\\ 1&2 \ea}=1,\quad \sev{\ba{ccc} 1&1&2\\ 1&2&2\\2&2&4 \ea}=0,\quad \sev{\ba{cccc} 1&1&2&5\\ 1&2&2&\frac{11}{2}\\2&2&4&\frac{17}{2}\\ 5&\frac{11}{2}&\frac{17}{2}&7\ea}=-\frac{9}{4}. \eex$$ 于是 $f$ 不是正定的.

 

4($15'$) 设线性方程组 $$\bex \left\{\ba{rrrrrrrrl}x_1&+&x_2&&&&&=&0\\&&&&x_3&+&x_4&=&0 \ea\right. \eex$$ 的解空间 $W$. 求向量 $(2,3,4,5)$ 在 $W$ 上的内射影以及到 $W$ 的距离.

解答: 容易知道 $$\bex W=span\sed{\alpha=(-1,1,0,0),\ \beta=(0,0,-1,1)}. \eex$$ 而 $\gamma=(2,3,4,5)$ 在 $W$ 上的内射影为 $$\bex argmin_{x\alpha+y\beta}||\gamma-(x\alpha+y\beta)||^2. \eex$$ 问题归结为求 $$\bex f(x,y)=||\gamma-(x\alpha+y\beta)||^2=(2+x)^2+(3-x)^2+(4+y)^2+(5-y)^2 \eex$$ 的极值. 由 $$\bex f_x=2(2+x)+2(x-3)=0,\quad f_y=2(y+4)+2(y-5)=0 \eex$$ 知 $$\bex x=y=\frac{1}{2}. \eex$$ 故 $\gamma$ 在 $W$ 上的内射影为 $$\bex\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{2}\beta=\sex{-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}},\eex$$ $\gamma$ 到 $W$ 的距离为 $$\bex\sev{\sev{\gamma-\sex{\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{2}\beta}}}=\sev{\sev{\sex{\frac{5}{2},\frac{5}{2},\frac{9}{2},\frac{9}{2}}}}=\sqrt{53}.\eex$$

 

5($20'$) 设 $\bbP[x]$ 为数域 $\bbP$ 上的多项式环, $D$ 为 $\bbP[x]$ 上的微分变换, 即 $D[f(x)]=f'(x)$.

(1) 求 $D$ 的所有不变子空间;

(2) 证明 $D$ 在其所有的有限维不变子空间上都不能对角化.

证明:

(1) 设 $V\neq\sed{0}$ 为 $D$ 的不变子空间.

a. 若 $\sup\sed{\deg f(x);\ f(x)\in V}<\infty$,则取一次数最高的多项式 $g(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\in V\ (a_n\neq 0,n\geq 0)$. 于是 $$\beex\bea (Dg)(x)&=na_nx^{n-1}+\cdots\in V,\\ &\cdots \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots\\ (D^{n-1}g)(x)&=n!a_nx+(n-1)!a_{n-1}\in V,\\(D^ng)(x)&=n!a_n\in V. \eea \eeex$$ 从后往前看有 $$\beex \bea 1&\in V,\\ x&=(D^{n-1}g)(x)-(n-1)!a_n\in V,\\&\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\\ x^n&\in V. \eea \eeex$$ 如此, $$\bex V=\bbP_n[x]=span\sed{1,x,\cdots,x^n}. \eex$$

b. 若 $\sup\sed{\deg f(x);\ f(x)\in V}=\infty$, 则由上可知 $V=\bbP[x]$.

 

综上, $D$ 的所有不变子空间为 $$\bex \sed{0},\quad span\sed{1,x,\cdots,x^n}\ (n=0,1,2,\cdots),\ \bbP[x]. \eex$$ (2) $D$ 在 $$\bex span\sed{1,x,\cdots,x^n}=span\sed{1,x,\cdots,\frac{x^n}{n!}} \eex$$ 下的矩阵为 $$\bex D\sex{1,x,\cdots,\frac{x^n}{n!}}=\sex{1,x,\cdots,\frac{x^n}{n!}} \sex{\ba{cccc} 0&1&&\\&0&\ddots&\\ &&\ddots&1\\ &&&0 \ea}. \eex$$于是 $D$ 不可对角化\footnote{$D$ 的最小多项式为 $x^{n+1}$, 有重根.}.

 

 

6 ($15'$)设 $n$ 阶矩阵 $A$ 对于任意 $n$ 维列向量 $X$ 满足 $X'AX=0$.

(1) 证明当 $A$ 为对称矩阵时 $A=0$; (2) 如果矩阵 $A$ 不是对称的, $A$ 未必是零矩阵.

证明:

(1) 取 $$\bex X=(\underbrace{0,\cdots,0,1}_{i\mbox{个}},0,\cdots,0)', \eex$$ 有$X'AX=a_{ii}=0$; 取 $$\bex X=(\underbrace{0,\cdots,0,1}_{i\mbox{个}},\underbrace{0,\cdots,0,1}_{j-i\mbox{个}},0,\cdots,0)', \eex$$ 有 $X'AX=a_{ii}+a_{jj}+2a_{ij}=0$, 而 $a_{ij}=0,\ i\neq j$. 故 $A=0$.

(2) 取 $$\bex A=\sex{\ba{cc} 0&1\\ -1&0 \ea}\neq 0, \eex$$ 但 $X'AX=0$.

 

 

 

7 ($15'$)设 $U$ 为正交矩阵, $f(x)=x^2+2$. 证明:

(1) $U$ 的特征根的模为 $1$; (2) $f(U)$ 可逆.

证明:

(1) 设 $\lambda$ 为 $U$ 的特征根, 则 $$\bex \exists\ x\neq 0,\st Ux=\lambda x, \eex$$ 于是 $$\bex x'U'Ux=\lambda^2x'x\ra\lambda^2=1\ra |\lambda|=1. \eex$$ (2) 设 $U$ 的特征根为 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$. 则 $U^2$ 的特征根为 $\lambda_1^2,\cdots,\lambda_n^2$. 注意到 $|\lambda_i^2|=|\lambda_i|^2=1$, 而 $-2$ 不是 $U$ 的特征值, $|f(U)|=|U^2+2I|\neq 0$, $f(U)$ 可逆.

 

 

8($20'$) 设 $\sigma$ 为数域 $\bbP$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 上的一个线性变换, $f(x)$ 为 $\bbP$ 上的多项式, $\sigma$ 的最小多项式为 $m(x)$, 则 $f(\sigma)$ 可逆 $\lra m(x),f(x)$ 互素.

证明: $\la$ 由 $m(x),f(x)$ 互素知存在多项式 $u(x),v(x)$ 使得 $$\bex u(x)m(x)+v(x)f(x)=1. \eex$$ 于是 $$\bex u(\sigma)m(\sigma)+v(\sigma)f(\sigma)=id_V. \eex$$ 因 $m(x)$ 为 $\sigma$ 的最小多项式, 我们有 $$\bex v(\sigma)f(\sigma)=id_V. \eex$$ 这说明 $f(\sigma)$ 可逆, 且其逆为 $v(\sigma)$.

$\ra$ 设 $(m(x),f(x))=k(x)$, $m(x)=m_1(x)k(x),f(x)=f_1(x)k(x)$. 由 $f(\sigma)$ 可逆知 $f_1(\sigma)$, $k(\sigma)$ 可逆\footnote{把线性变换看成矩阵: $A=BC, A$ 可逆 $\ra B,C$ 可逆.}

又 $m(x)$ 为 $\sigma$ 的最小多项式, $$\bex 0=m(\sigma)=m_1(\sigma)k(\sigma). \eex$$ 于是 $m_1(\sigma)=0$\footnote{否则, $m(\sigma)$ 可逆了.}. 而 $k(x)$ 为零次多项式\footnote{否则, $m_1(x)$ 为较 $m(x)$ 低次的适合 $m_1(\sigma)=0$ 的多项式.} $k(x)=1$, $(m(x),f(x))=1$.

 

9($20'$) 设 $\dps{A=\sex{\ba{ccccc}0&0&\cdots&0&1\\ 0&0&\cdots&1&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&1&\cdots&0&0\\ 1&0&\cdots&0&0 \ea}}$ 为 $2n+1$ 阶实对称矩阵. 试求正交矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP=D$ 为对角矩阵, 并求 $D$.

解答: 设 $$\bex D_{2n+1}=|\lambda E-A|=\sev{\ba{ccccc}\lambda&&&&-1\\ &\ddots&&\iddots&\\&&\lambda-1&&\\ &\iddots&&\ddots&\\-1&&&&\lambda \ea}. \eex$$ 则由 $$\beex \bea D_{2n+1}&=\lambda[(-1)^{2n+2n}\cdot \lambda]D_{2n-1}+[(-1)^{1+(2n+1)}\cdot(-1)]\cdot [(-1)^{2n+1}\cdot (-1)] D_{2n-1}\\&=(\lambda^2-1)D_{2n-1}\\ &=\cdots\\ &=(\lambda^2-1)^nD_1\\&=(\lambda^2-1)^n(\lambda-1)\\ &=(\lambda+1)^n(\lambda-1)^{n+1} \eea\eeex$$ 知 $A$ 的特征值为 $$\bex \lambda_1=-1\ (n\mbox{ 重}),\quad \lambda_2=1(n+1\mbox{ 重}). \eex$$ 再由 $$\beex \bea \lambda_1 E-A=\sex{\ba{ccccccc}-1&&&&&&-1\\&\ddots&&&&\iddots&\\&&-1&&-1&&\\ &&&-2&&&\\&&-1&&-1&&\\&\iddots&&&&\ddots&\\-1&&&&&&-1 \ea} \rra\sex{\ba{ccccccc}-1&&&&&&-1\\&\ddots&&&&\iddots&\\&&-1&&-1&&\\ &&&1&&&\\&&0&&0&&\\&\iddots&&&&\ddots&\\ 0&&&&&&0\ea} \eea \eeex$$ 知 $A$ 的属于 $\lambda_1=-1$ 的特征向量为 $$\bex -e_1+e_{2n+1},-e_2+e_{2n},\cdots,-e_n+e_{n+2}, \eex$$ 标准正交化有 $$\bex\frac{1}{\sqrt{2}}\sex{-e_1+e_{2n+1}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\sex{-e_2+e_{2n}},\cdots, \frac{1}{\sqrt{2}}\sex{-e_n+e_{n+2}}; \eex$$ 由 $$\beex \bea \lambda_2E-A=\sex{\ba{ccccccc} 1&&&&&&-1\\ &\ddots&&&&\iddots&\\&&1&&-1&&\\ &&&0&&&\\&&1&&-1&&\\&\iddots&&&&\ddots&\\ -1&&&&&&1\ea} \rra\sex{\ba{ccccccc} 1&&&&&&-1\\&\ddots&&&&\iddots&\\&&1&&-1&&\\ &&&1&&&\\&&0&&0&&\\&\iddots&&&&\ddots&\\ 0&&&&&&0\ea} \eea \eeex$$ 知 $A$ 的属于 $\lambda_2=1$ 的特征向量为 $$\bex e_1+e_{2n+1},e_2+e_{2n},\cdots,e_n+e_{n+2},e_{n+1}, \eex$$ 标准正交化有 $$\bex\frac{1}{\sqrt{2}}\sex{e_1+e_{2n+1}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\sex{e_2+e_{2n}},\cdots, \frac{1}{\sqrt{2}}\sex{e_n+e_{n+2}},e_{n+1}. \eex$$ 故取正交阵 $$\bex P=\sex{\frac{1}{\sqrt{2}}\sex{-e_1+e_{2n+1}}, \cdots,\frac{1}{\sqrt{2}}\sex{-e_n+e_{n+2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\sex{e_1+e_{2n+1}},\cdots, \frac{1}{\sqrt{2}}\sex{e_n+e_{n+2}},e_{n+1}} \eex$$ 后有 $$\bex P^{-1}AP=\sex{\ba{ccccccc}-1&&&&&&\\ &\ddots&&&&&\\&&-1&&&&\\ &&&1&&&\\&&&&1&&\\ &&&&&\ddots&\\&&&&&&1 \ea}. \eex$$

 

10($15'$) 证明:

(1) $n$ 阶实反对称矩阵的特征根为纯虚数或者为零; (2) $n$ 阶实反对称矩阵的行列式大于等于零.

证明:

(1) 设 $A$ 为实反对称矩阵, $\lambda$ 为其一特征根, 则 $$\bex \exists\ x\neq 0,\st Ax=\lambda x.\eex$$ 于是 $$\bex =\lambda^2x^Hx=-x^HA^2x=x^HA^HAx=|\lambda|^2x^Hx. \eex$$ 记 $\lambda=a+bi$, 则 $$\bex -(a-b^2)-2abi=a^2+b^2, \eex$$ $$\bex a=0,\quad ab=0. \eex$$ 因此, $\lambda=bi$, 为纯虚数或者零.

(2) 设 $A$ 为实反对称矩阵, 则 $A$ 的特征根为 $$\bex b_1i,-b_1i,\cdots,b_si,-b_si,0,\cdots,0. \eex$$ 故 $$\bex |A|=\prod_{j=1}^s b_ji(-b_ji)\cdot \prod_{j=2s+1}^n 0\geq 0.\eex$$