[物理学与PDEs]第1章第2节 预备知识 2.3 Faraday 电磁感应定律

1.  Faraday 电磁感应定律: 设 $l$ 为任一闭曲线, 则 $$\bex \oint_l{\bf E}\cdot\rd {\bf l} =-\int_S \cfrac{\p {\bf B}}{\p t}\cdot{\bf n}\rd S, \eex$$ 其中 $S$ 为任一以 $l$ 为边界的有向曲面, 其方向与 $l$ 成右手定则.  

(1)  这是 Faraday 从实验中总结出来的规律.  

(2)  负号的意义: 若沿 ${\bf n}$ 的磁通量增加, 则产生的感应电动势应抑制这一磁通量的增加. 这就是 Lenz 定律.  

(3)  由 $S$ 的任意性知 $$\beex \bea 0&=\int_S \cfrac{\p{\bf B}}{\p t}\cdot{\bf n}\rd S\quad\sex{S:\mbox{ 封闭曲面}}\\ &=\cfrac{\rd }{\rd t}\int_S{\bf B}\cdot{\bf n}\rd S\\ &=\cfrac{\rd }{\rd t}\int_\Omega \Div{\bf B}\rd V. \eea \eeex$$ 于是 $$\bex \cfrac{\p}{\p t}\Div {\bf B}=0.  \eex$$ 进一步, 若初始时, $\Div{\bf B}=0$, 则以后均有 $\Div{\bf B}=0$.