[物理学与PDEs]第1章习题14 求解 rot 方程

设向量函数 ${\bf B}(x,y,z)=(B_x,B_y,B_z)$ 在 $z\neq 0$ 时具有一阶连续偏导数, 在 $z=0$ 时具有第一类间断, 且 $$\bex \Div{\bf B}=0,\quad z\neq 0.  \eex$$ 若 $B_z$ 在 $z=0$ 时连续, 试证明存在连续向量函数 ${\bf A}(x,y,z)$ 使 $$\bex {\bf B}=\rot{\bf A}. \eex$$

 

证明: 在引理 6. 1 的证明中取 $(x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)$, 则由 $$\beex \bea A_x(x,y,z)&=\int_0^z B_y(x,y,z)\rd z,\\ A_y(x,y,z)&=-\int_0^z B_x(x,y,z)\rd z+\int_0^x B_z(x,y,0)\rd x,\\ A_z(x,y,z)&=0 \eea \eeex$$ 给出的 ${\bf A}$ 连续.