[物理学与PDEs]第2章习题8 一维定常粘性不可压缩流体的求解

考察固定在 $y=0$ 与 $y=1$ 处两个平板之间的定常粘性不可压缩流体沿 $x$ 方向的流动. 设 $p=p(x)$, 且已知 $p(0) =p_1$, $p(L)=p_2$, $p_1>p_2$. 试求该流场的速度 $u(x,y)$ 与压力 $p(x)$ (忽略体积力).

 

解答: 由流体动力学方程组知 $$\beex \bea \cfrac{\p u}{\p x}=0&\ra u=u(y),\\ -\mu \cfrac{\rd^2u}{\rd y^2}+\cfrac{\rd p}{\rd x}=0&\ra \cfrac{\rd ^2p}{\rd x^2}=0\\ &\ra p=p_1+\cfrac{p_2-p_1}{L}x\quad(p(0) =p_1,p(L)=p_2)\\ &\ra \mu \cfrac{\rd ^2u}{\rd y^2}=\cfrac{p_2-p_1}{L}\\ &\ra u=\cfrac{p_2-p_1}{2\mu L}y(y-1)\quad(u(0) =u(1) =0). \eea \eeex$$