数据结构－树

树：是n（n>=0）个节点的有限集，n＝０时称为空树。在任何一棵非空树中：1 有且仅有一个特定的称为根（root）的节点; 2 n>1时，其余节点可分为m（m>0）个互不相交的优先集，其中每一个集合又是一棵树，称为根的子树。（n>0时根节点唯一，m>0时，子树个数没有限制，但他们一定互不相交）。

• 结点拥有的子树数称为结点的度（Degree）
• 度为零的结点称为叶结点(Leaf)或终端结点
• 度不为零的结点称为 分支结点 或 非终端结点，除根结点外，分支结点也称为内部结点
• 各结点度的最大值称为 树的度
• 结点的层次（Level）从根开始定义起，根为第一层，孩子以此类推，双亲在同一层的结点互为堂兄弟
• 树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度

线性结构／树结构 对比

• 线性结构

• 第一个数据元素：无前驱

• 最后一个数据元素：无后驱

• 中间元素：一个前驱一个后驱

• 树结构

• 根结点：无双亲，唯一

• 叶结点： 无孩子

• 中间结点：一个双亲多个孩子

树的表示法

• 双亲表示法：每个结点附设一个指针指向双亲结点的位置
• 孩子表示法：每个结点设置多个指针，每个指针指向一棵子树的根结点，这种方法也叫多重链表表示法
• 孩子兄弟表示法：每个结点设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟

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二叉树 可以为空，称为空二叉树，或者由一个根结点和两棵互不相交的，分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成

二叉树的特点：

• 不存在度大于2的结点
• 左右子树有序

二叉树的性质：

1. 性质1：在二叉树的第i层至多有2^(i-1)个节点(i>=1)。
2. 性质2：深度为k的二叉树至多有2^k - 1个节点。
3. 性质3：二叉树中，终点节点(度为0)个数n0与度为2的节点个数n2关系：n0 = n2 + 1。
   分析：二叉树中节点的度可以是0，1， 2。也就是说需要证明度为0的节点和度为2的节点的关系不变。
   证明：
   设二叉树中，度为i的节点表示成ni。
   则二叉树总的节点数n = n0 + n1 + n2。
   因为除根节点外，每一个节点都是另一个节点的孩子，所以孩子数为n - 1。
   度为i(i = 1, 2, 3)的节点，有i个孩子，孩子数 n - 1 = n0 × 0 + n1 × 1 + n2 × 2 = 2 × n2 + n1。
   所以n0 + n1 + n2 - 1 = 2 × n2 + n1 => n2 = n0 - 1 => n0 = n2 + 1。
4. 节点树为n的完全二叉树，根据：2^(n - 1) - 1 < n <= 2^n - 1，可知深度为log(2)(n) <向下取整> + 1
5. 在按层编号的n个结点的完全二叉树中，任意一个结点i(1 <= i <= n)有：
   1). i = 1时，结点i是树的根，i > 1时，结点i的双亲为i/2(向下取整)。
   2). 2 × i > n时，结点i无左孩子，为叶结点，否则结点i的左孩子为2i。
   3). 2 × i + 1 > n时，结点i无右孩子，否则结点i的右孩子为2i + 1。

; 即把树按层映射到数组中，如果数组以0为起点，可以按照`性质5`求出结点i的父结点，左孩子结点，右孩子结点。
(defun parent (i)
  (if (= i 0)
      0
      (floor (/ (- i 1) 2))))

(defun left (i)
  (+ (* 2 i) 1))

(defun right (i)
  (* 2 (+ i 1)))

特殊二叉树：

• 左(右)斜树：所有结点都只有左(右)子树的二叉树
• 满二叉树：所有分支结点都存在左右子树，并且所有的叶子都在同一层上的二叉树，即当深度为k时，结点必须为2^k - 1个。
• 完全二叉树：如果具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1<＝ i <＝n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则为完全二叉树

二叉树的遍历：

定义数的结构为：

tree {
l-child,
r-child
}

• 前序遍历: 若二叉树为空, 则空操作返回, 否则先访问根结点, 然后前序遍历左子树, 再前序遍历右子树.

preorder (tree tr) {
    if (tr) {
        visit(tr)
        preorder(tr -> l-child)
        preorder(tr -> r-child)
    }
}

• 中序遍历: 若二叉树为空, 则空操作返回, 否则从根结点开始, 中序遍历根结点的左子树, 然后访问根结点, 最后中序遍历右子树.

inorder (tree tr) {
    if (tr) {
        inorder(tr -> l-child)
        visit(tr)
        inorder(tr -> r-child)
    }
}

• 后序遍历: 若二叉树为空, 则空操作返回, 否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树, 最后访问根结点.

postorder (tree tr) {
    if (tr) {
        postorder(tr -> l-child)
        postorder(tr -> r-child)
        visit(tr)
    }
}

• 层序遍历: 若二叉树为空, 则空操作返回, 否则从树的第一层, 从上而下逐层遍历, 在同一层中, 按从左到右的顺序对结点逐个访问.

线索二叉树(Threaded Binary Tree)

• 指向前驱或后继的指针称为线索, 加上线索的二叉树表称为线索链表, 也就是线索二叉树.
• 对二叉树以某种次序遍历使其变为线索二叉树的过程称作是线索化.

树转为二叉树

• 加线, 在所有兄弟结点之间加一条连线.
• 去线, 对树中每个结点, 只保留它与第一个孩子结点的连线, 删除它与其它孩子结点的连线.
• 层次调整, 以树的根节点为轴心, 将整棵树顺时针旋转一定角度, 使之结构层次分明. 注意: 第一个孩子是二叉树的左孩子, 兄弟转换过来的孩子是结点的右孩子.