时隔六年，重读线代

六年前，刚上大一就被线性代数这一重磅炸弹摧残得面目全非。虽说期末考试93分的成绩还算不错，但也全靠刷题和死记硬背，对线性代数的本质一无所知。以致多年来，提到线性代数，记起的只有矩阵乘法和行列式。其它概念都如过眼云烟，消散殆尽。

线性代数有什么用，如果大一的时候能够明白，以后也许就不会吃太多苦头。然而直到学自动控制理论，学计算机视觉中的多视图几何，里面大段大段的推导看不懂，才恍惚意识到线代的好处。

以前搞不清楚为什么常称“线性系统”与“非线性系统”，比如电阻电路是线性系统，加上电容和电感后就成了非线性系统。其实很直观，联想到线性组合的概念，如果输出能表示成输入的线性组合，就是线性系统。线性系统满足叠加原理，多个输入同时作用的效果相当于每个输入单独作用效果的叠加。这一原理在电路分析中广泛使用。对于任意一个电阻电路，输出电压 u_o与输入电压 u_in的关系一定可以用一个矩阵变换来表示，比如

如果我们把输入电压看做一个列向量

然后把输出电压看做A的各列的线性组合

其中，a_i表示 A 的第i列。这样，我们就可以把 A 理解成电路的内部结构，那么输出就是以输入为权重的电路内部结构的线性组合，不同的输入代表着不同组合，从而得到不同的输出。像这样把矩阵乘法理解为矩阵各列的线性组合，对理解线性代数的实质非常有帮助。
另一方面，借助几何来理解线性代数，会收到意想不到的结果。
以二维平面几何为例，每个2x2的矩阵都可以对应 R² 上的一个线性变换。神奇的是，这些变换的效果安全可以从矩阵各列的线性组合体现出来。例如，对于矩阵

我们计算二维平面坐标系中x、y轴方向上的单位向量的变换。单位向量分别是

于是

可以发现，A的效果是把坐标轴上的单位向量变换成自己的列向量，也就是把

这是什么样的效果呢？只要看下面这张图就明白了。

我们只需要把 e₁ 和 e₂ 经过变换后的位置画出来，就可以看出， A 对应的变换，相当于横坐标不变，纵坐标变为相反数。即关于 x₁ 轴的对称。

最后，由于理解不够深入，本文也许并不能启发到各位。推荐一套视频【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集，这里面有丰富的动画演示，绝对大开眼界。

先写到这儿，继续看我的《线性代数及其应用》去了。