傅立叶变换个人理解

首先我们拥有傅立叶级数这个概念，我们知道任意一个周期函数可以表示为无数个正弦函数的叠加，公式：

傅立叶级数公式

通过这个公式我们能得到Cn的表达式：

Cn的表达式

而我们在傅立叶变换中看到的关于函数频域内的表示图像，一般就是这个Cn的值，也就是说频域图像一般是指振幅值的函数，即Cn的函数。

现在需要理解一点，任何一个函数都能被看成一个无穷维的向量，这点很重要。

那么回忆一下线性代数的知识，我们知道一个解空间中的所有向量都可以有一组线性无关的基来表示，傅立叶级数也是这个意思，它是由一组线性无关的三角函数系来表示的，这组三角函数系就是基，傅立叶级数求出来的Cn就是原函数在这组基下的向量，这样你就会发现有了频域内的Cn的图像，你就知道了原函数的表达式，因为这只是一个函数在不同坐标系下的不同表示形式。

傅立叶变换也是一个道理，但是傅立叶变换针对的是非周期函数，我们知道周期函数可以分解成无数个正弦函数叠加，那么非周期函数是能不能分解？答案是能，傅立叶变换完成的就是这个功能，那么非周期函数我们怎么才能像周期函数一样得到它的一个周期？那么，把他的周期看成无穷大就可以了，即傅立叶变换是对周期无限大的函数进行分解。

傅立叶变换用的也是一组线性无关的三角函数系作为基，来表示原函数的，不过比起傅立叶级数，傅立叶变换用的三角函数系就更加大了，可以这么理解，傅立叶级数用的基，虽然是无穷大的，不过我们能知道每一个基的具体的周期，但是到了傅立叶变换这里，我们就不知道每一个基的周期了，因为是从负无穷积分到正无穷，每一个周期都用到了。

这样就能解释为什么周期函数的傅里叶谱是离散的，非周期函数的傅里叶谱是连续的，因为周期函数用到的基的周期我们知道，而非周期函数的用到的基周期我们不知道，所以一个非周期函数要是用傅立叶级数的形式展开，那么一开始那个公式中的累加符号就需要变成积分符号。

有了上面的解释，下面给出傅立叶变换的公式：

傅立叶变换公式

公式中的e^-j2πμt就是我们之前说的那组无穷且正交的三角函数系，而由f(t)变换出来的F(μ)其实就是f(t)在这组基下的向量，我们可以与之前的Cn的表达式进行比较，这两个式子意义一致，都是在某一频域下的振幅大小，相信傅立叶变换公式为什么得到的是个函数就明白了，而且这个函数的自变量还是正弦函数的变量，自然就与频率扯上了关系，这也是为什么傅立叶变换能将函数从时域转为频域，值得注意的是，我们傅立叶变换得出来的这个F(μ)并不是原函数的真身，而是原函数在频域这个坐标系下的坐标。