357. Count Numbers with Unique Digits 统计各位不同的数字个数

Given a non-negative integer n, count all numbers with unique digits, x, where 0 ≤ x < 10^n.
Example:
Given n = 2, return 91. (The answer should be the total numbers in the range of 0 ≤ x < 100, excluding [11,22,33,44,55,66,77,88,99])

给定非负整数n，要求在0到10^n的范围内（左闭右开），统计所有各位不相同的数字的个数。

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思路
设f(n)为恰好为n位数时所有各位数字均不同的数字个数。根据排列组合的原理，容易得到以下规律：

• f(0)=1
• f(1)=10
• f(2)=9*9
• f(3)=998=8f(2)=(10-2)f(2)
• 当n<=10时，f(n)=(10-n+1)*f(n-1)
• 当n>10时，由于必会选取至少一个重复数字，因而f(n)=0

而题目中要求的是返回0到10^n之中所有的满足条件的数字个数，所以最后的结果res应该是：

• res(0)=1
• res(1)=10
• res(2)=f(2)+f(1)=91
• res(3)=f(3)+f(2)+f(1)=f(3)+res(2)
• res(>10)=res(10)

class Solution {
public:
    int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
        vector res(11);
        res[0]=1;
        res[1]=10;
        res[2]=9*9;
        for(int i=3;i10) return res[10];
        else return res[n];
    }
};