2019-08-30 Seminar (Summary & spectral curve III)

在忙乱之中终于是恢复了我们周五的可积性的Seminar了，开始了就好，之后就会按照惯性有序地进行下去吧，准备的还是有些匆忙了啦，总结了一下上学期的内容，也对这学期进行了一些展望。

先想聊一下自己的感受。从本科的时候开始，一直到现在，我也没想到能把这种形式一直延续下来，也算是一种传承吧，好的东西不应该只用来怀念，而是一直带在身上，这才算过去的经历在自己身上的烙印，而不只是浮名。从大一暑假的群论讨论班开始10年过去了吧，很感激自己的热情还在。热情才是讨论班维持下去的动力，有了热情，学习生活也会更有乐趣一些。就会发现，即使讨论班只有1，2个人，即使得似乎得不到任何好处，即使有很多问题没有搞清楚，但是仅仅是准备的过程，还有给自己讲的过程就会很开心。

这次讨论班虽然有一个可积性的主题，但是内容还是覆盖地很广泛地，每次的seminar之间的联系就可能没有那么的强，比较容易lost，特别是下面听的人。也曾有人给我泼冷水说，这讨论班没什么用，学的东西很快就忘记了。这虽是冷水也有部分的事实。所以为了从seminar中获得最大的收益，心中就要一直记着我们讨论班的目的，这样就可以每次听的时候去看内容是否和自己目的契合，还有怎样把新的知识和已经学过的内容联系起来。这个联系可能不那么明显，就需要自己更多地思考整理，而不仅仅是吃别人消化过的。

上学期一共举行了14次seminar，我是讲了13次，对我来说每一次也都是全新的内容，不仅仅是看讲义的内容还看了很多相关的一些文献，差不多一周一次，也不一定说每次都讲的很清楚，但是至少我自己都理出来一个脉络。最少的时候只有我和学弟2个人，有在黑板上做了很细致的计算推导的时候，也有只是说handwaving 讲一些逻辑和大概思路而没有数学推导的时候。

Why AdS/CFT？为什么我们要在这个context下学可积性？主要有两个原因：1是 gravity with AdS factor and CFT 都是当前理论物理里面核心内容，不过做什么方向，都要对这个内容有一定程度的理解，是所谓的“theoretical minimum”的一部分；2是因为AdS/CFT提供了一个前所未有的绝佳的研究科技系统的平台，很多新的技巧还有对可积性的深入的理解都来自于对这个理论的研究。

从perturbative N=4 SYM 开始，对象是一些composite operators，我们要算他们的conformal dimension。可积性是perturbation 理论下逐级建立起来的。或者说high spin conserved charge的存在也是可以逐级建立起来，这些charges的存在对于下一级的微扰展开进行限制。另外一个直观的角度是，微扰的每一阶问题都可以转换成一个可积的spin chain的问题，在那里spectrum可以用Bethe ansatz求解。Bethe ansatz是我们其中一个学习重点。它的核心思想就是，不用quantum number来表示一个态，而是使用 Bethe root，Bethe root的具体取值由Bethe equation 决定。一个简单例子的谐振子，我们知道谐振子的波函数除掉universal的 exponential 的部分剩下的是Hermition多项式，而多项式是由他的根完全确定下来的（up to a factor)，所以每一个quantum state 都是一组root 来表示的，这些根的位置也就是波函数的零点的位置，也就是quasi momentum的pole的位置，这里我们借用一个resurgence的思想，pole之间相互关联的，这个关联就类似Bethe equation。
在AdS/CFT的对应下，composite operator 的conformal dimension是对应到 energy of string states。
所以弦论的spectrum就是我们再引力这边要求的量。在AdS5背景下的弦论是我们另一个学习重点，通过把理论写成一个WZWmodel，可以把对称性manifest，然后可积性可以很容易的证明。可积性是体现在，我们可以用spectral curve 来描述 一个弦论的解。另外一个好处是，可以很容易的使用light-cone quantization，然后求worldsheet上面S-matrix的。
要求string theory的谱，一般是先求classical solution然后再求quantum correction。这里当然可以不使用可积性的方法。一些简单的string solution 比如BMN string或者rigid string 都已经求出，我们只需在这些解的基础上求quantum correction。通常的办法是用effective action的办法，在classical solution的附近做微扰展开。integrate out 这些fluctuation 就得到了对classical solution的quantum number的1-loop修正。
使用可积性的办法就是对spectral curve 做semi-classical quantization，同样的可以得到1-loop的correction。刚才提到可以用spectral curve 来表示一个classical solution。具体的来说，这里spectral curve有8个sheets对应了8个quasi momentum。上面的cut包含了刻画classical solution的信息。我们可以认识这些branch cut是pole的condensation，也就是说当quantum number 很小的时候，sheet上面只有一些poles，在semi-classical regime，quantum number>>1, pole 汇聚成 cut，这样我们才有了真正意义上的Riemann surface。从这图像来看，一些小的激发是对应了pole，这样考虑quantum correction 就相当于在Riemann 面是加一些pole。加完之后，有两个后果，一是pole会被cut影响，最后分布在一些平衡位置上，另外一方面pole也“backreaction”到cut，改变cut。通过这两个信息，我们可以得知quasimomentum应该具有的analytical structure，然后再impose virasoro constraint和level matching conditon还有无穷远处的渐进行为就可以唯一把quasi momentum 确定下来，从而得到量子修正。