演绎之直接推论 |《逻辑学导论》(三)

先说结论,本章重要知识点:

对当方阵(The Square of Opposition)

传统逻辑(亚里士多德逻辑)中基本命题的关系

演绎之直接推论 |《逻辑学导论》(三)_第1张图片
对当方阵
  • 矛盾关系(Contradictories):一个命题是另一个的拒斥(denial)或否定(negation),既不同真也不同假。主项、谓项相同,质量、都不同。
  • 反对关系(Contraries):两个命题不能同真,但可以同假。
  • 差等关系(Subalternation):两个命题主项和谓项相同,质相同量不同。上位蕴含(imply)下位。即上位为真,下位必为真;下位为假,上位必为假。其他情况则无法推断。
  • 下反对关系(Subcontraries):两个命题不能同假,但可以同真。

注意两个条件
1)必须符合存在假设,即预设所涉及的类不为空
2)考虑反对关系和下反对关系时,命题必须是偶真的(contingent)
不能是必然真(或必然假)的,否则就不可能同假(真)。
必然为真(假)指逻辑和数学上为真(假),例如所有三角形是三边形、有正方形是圆。

演绎之直接推论 |《逻辑学导论》(三)_第2张图片
直接推论

其他直接推论

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换位换质换质位

换位法和换质法,带入例子就可以理解。换质位法是前两者的运算。以换质位法第一条 A 到 A 为例。先从换质法的 A 到 E,再从换位法的 E 到 E,再从换质法的 E 到 A 推出。

上表左边的命题蕴含(imply)右边命题。即左边为真,右边必为真;右边为假,左边必为假。其他情况则无法推断。

布尔解释(Boolean Interpretations)

传统逻辑的存在假设有诸多问题,乔治·布尔(George Boole)发展了现代逻辑学,提出了布尔解释。

布尔解释核心是说:

  • I、O 命题依然有存在含义,A、E 命题没有存在含义
  • 对当方阵的矛盾关系成立,周边关系消失(差等关系部分消失)

在实际应用中,如果主项不为空,可看对当方阵,如果为空,看布尔解释。

文恩图(Venn Diagram)

英国数学家、逻辑学家约翰·文恩(John Venn,1834-1923)最早使用的图示法,用来表达标准直言命题。

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文恩图
演绎之直接推论 |《逻辑学导论》(三)_第5张图片
文恩图解三段论

斜线表示为空,x 表示存在,其中至少有一个元素。
文恩图对于后续的直言三段论有重要作用。

基础概念

直言命题(categorical proposition)

亚里士多德传统逻辑讨论的都是直言命题。直言命题是探讨类(classes)或分类(categories),声明(affirming)或否定(denying)某个类全部或部分包含在另一个类中。(直译为“分类命题”不好么!!!)

标准直言命题(standard-form categorical proposition)

AEIO 是标准直言命题。
A:所有 S 是 P
E:没有 S 是 P
I:有 S 是 P
O:有 S 不是 P

直接推论和间接推论

直接推论:从一个前提推论
间接推论:从至少两个前提推论

标准直言命题的组成

量项主项联项谓项

在第一篇里我说过,演绎部分的概念层层递进至少是树形结构10层,这篇开始数给你们看。

一个标准直言命题的组成是:量项(quantifier)+主项(subject term)+联项(copula)+谓项(predicate term)

量项:所有、没有、有些;联项:是、否

标准直言命题的组成,这是第 1 层。

质量周延

根据功能,还有质(Quality)、量(Quantity)、周延(Distribution)的概念。

质:肯定(affirmative)还是否定(negative )
量:全称(universal)还是特称(particular )

周延需要好好解释一下。
周延指的是一种描述命题与其内的项(terms,也就是主项或谓项)的关系的一种特质。当命题提及该项所指的类的每一个成员(member),我们就说该项是周延的。(周延这个翻译实在无力吐槽,直译成“分布”不好么!!!)

A 命题:所有参议员是公民。命题论述了所有参议员,并没有论述所有公民是怎样。所以A 命题主项周延,谓项不周延。

E 命题:没有运动员是素食主义者。命题论述了所有运动员,这个类排除在素质主义者这个类之外。同时也论述了素食主义者这个类排除在运动员这个类之外。所以E 命题主项、谓项周延。

I 命题:有些士兵是胆小鬼。I 命题主项、谓项不周延。

O 命题:有些士兵不是胆小鬼。胆小鬼被排除在特定的“有些士兵”这个类之外。胆小鬼的每个成员都不能在这群“有些士兵”中被找到。当一个类被排除在一个类之外,我们就说这个类的每个成员都被提及了。O 命题主项不周延、谓项周延。(这里我不太理解)

演绎之直接推论 |《逻辑学导论》(三)_第6张图片
周延

按特征分类,这是第 2 层,有了第 2 层,就可以玩换位、换质这种游戏。而换质位是在换质、换位基础上运算,是为第 3 层。

存在问题(existential import)

I、O 命题有存在含义。有些士兵是胆小鬼,必然存在至少一个士兵,他是胆小鬼。有些士兵不是胆小鬼。必然存在至少一个士兵,他不是胆小鬼。

在传统逻辑中,I、O 命题是从 A、E 命题推断而来,那么 A、E 命题也须有存在含义。但是当全称命题(比如 A 命题)的主项不存在即为空时,会出现 A、O 同假,那么矛盾关系不存在。

比如,所有火星人都是金发的。有些火星人不是金发的。当火星人不存在时,这两个命题同假。

为了挽救传统逻辑方阵,预设所有直言命题涉及的类都不为空。

但是这种预设是有问题的。首先,它不能论述为空的类。其次,科学研究中的理论经常涉及为空的类。因此逻辑学家布尔发展了现代逻辑(mordern logic),提出了布尔解释。

布尔解释

约翰·布尔(George Boole,1815-1864)。英国逻辑学家、数学家。现代符号逻辑奠基人之一。

布尔解释:

  • I、O 命题依然有存在含义,A、E 命题没有存在含义。即当主项为空时,I、O 命题为假,A、E 命题可以为真。
  • 对当方阵的矛盾关系成立,周边关系消失(差等关系部分消失)
  • 差等关系不是普遍有效的(上位有主项为空时无法推出下位)
  • E 命题和 I 命题的换位推理,A 命题和 O 命题的换质位推理,所有命题的换质推理有效。其他无效,比如限制换位、限制换质位。(限制指从全称命题换为特称命题)

当原命题为假,求某命题真假如何判断?

当无法直接推论时,看原命题的矛盾命题或试图从某命题推得原命题。

原命题为假时,其矛盾命题必为真。则可通过矛盾命题的差等关系及换质位大法去看和某命题的关系。(是否能推得某命题)

根据“上位蕴含(imply)下位。即上位为真,下位必为真;下位为假,上位必为假。”和换质位表“左边的命题蕴含(imply)右边命题。即左边为真,右边必为真;右边为假,左边必为假。”

原命题若是某命题的下位命题,则某命题为假。若某命题通过换质位大法如果能推得原命题,那由于原命题为假,可得某命题为假。

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