【算法设计与分析】15 分治策略：芯片测试

上一篇文章学习了【算法设计与分析】14 分治算法的一般描述和分析方法

本篇文章借助具体的例子来学习分治策略。这个例子是课本上的：芯片测试的例子。

1. 芯片测试

在讲解具体的芯片测试的分治策略算法之前，先来了芯片测试的意思

1.1 一次测试的过程

如上图，A、B为芯片。测试方法为：将2片芯片（A和B）置于测试台上，互相进行测试，测试报告是“好”或者“坏”，只取其一。

• 假设：好芯片的报告一定是正确的，坏芯片的报告是不确定的（可能会出错）

那么上述测试的结果有四种可能,如下图:

上面的结果应该不难理解

那么现在问题来了:

• 输入：n片芯片，其中好芯片，至少比坏芯片多一片
• 问题：设计一种测试方法，通过测试从n片中挑出1片好芯片
• 要求：使用最少的测试次数

1.2 如何测试一块芯片的好坏

针对上述问题，现在先来研究一下，如何在上述n片芯片中，测试出A是好芯片还是坏芯片？

• 问题：给定芯片A，判定A的好坏
• 方法：用其他n-1片芯片对A进行测试。

假设：n=7:好芯片数>=4

1. A好，6个芯片中至少3个报“好”
2. A坏，6个芯片中至少4个报坏

所以对于n是奇数情况下：好芯片数>=（n+1）/2
A好，至少有(n-1)/2个报“好”
A坏，至少有(n+1)/2个报“坏”

结论：

1. 至少一半报好，A是好芯片
2. 超过一半报坏，A是坏芯片

假设: n=8:好芯片数>=5

1. A好，7个芯片中至少4个报“好”
2. A坏，7个芯片中至少5个报“坏”

所以对于n是偶数：好芯片数 >= n/2+1.
A 好, 至少有 n/2个报告“好”
A 坏, 至少有 n/2+1个报告“坏”

结论：n-1份报告中

1. 至少一半报好，A是好芯片
2. 至少一半报坏，A是坏芯片

上面的分析，已经很清晰，我们已经知道如何测试一块芯片的好坏。那么人们最拿手的方法就是：暴力算法（蛮力算法）可以直接写代码了。。。

1.3 蛮力算法

测试算法：任取 1片测试，如果是好芯片，测试结束；如果是坏芯片，抛弃，再从剩下芯片中任取 1片测试，直到得到 1片好芯片

时间估计：

第一片是坏芯片，最多测试n-2次
第二片是坏芯片，最多测试n-3次
…

总计：$\Theta (n^2)$

可见时间复杂度之高，数据量一多，肯定会超时。

1.4 分治算法设计思想

在分析分治算法的正确性之前，我们先给出这个算法的描述：

假设n为偶数，将n片芯片两两一组做测试淘汰，剩下芯片构成子问题，进入下一轮分组淘汰。

淘汰规则为：

• “好，好” ==> 任留1片，进入下轮
• 其他情况 ==> 全部抛弃

递归截止条件：n<=3
3片芯片，一次测试可得到好芯片
1或者2片芯片，不需要再测试，他们都为好芯片。

上述算法过程就是我们给出的分治策略的设计。那么为什么上述的策略是正确的呢？

回忆一下，前面的文章，要保证分治策略的正确性的基本条件是：子问题与原问题性质相同。下面我们就来证明，上述分治策略的子问题与原问题性质相同。

1.41 分治算法的正确性证明

原问题：n片芯片，其中好芯片，至少比坏芯片多一片

那么子问题，命题1：当 n 是偶数时，在上述淘汰规则下，经过一轮淘汰，剩下的好芯片比坏芯片至少多1片

我们需要证明上述子问题的命题1是正确的。

证明：假设原问题中A，B都好的芯片有i组，A与B一好一坏的有j组，A与B都坏的有k组。那么经过一轮淘汰后，好芯片还剩i片，坏芯片还剩k片。

因为

• 初始芯片总数 2i+2j+2k = n
• 初始好芯片多于坏芯片：2i+j > 2k+j

得出：i>k

所以，剩余的芯片好芯片比坏芯片，至少多1片。命题1 是正确的。即证明了上述分治算法的正确性。

当n为奇数时，特殊处理。当n是奇数时，可能会出现问题，如图：

可见淘汰后的子问题并不满足于原问题性质相同，此时无法继续测试。

• 处理办法是：当n为奇数时，增加一轮对轮空芯片的单独测试，如果该轮空芯片为好芯片则算法结束，如果是坏芯片，则淘汰该芯片。

下面给出上述分治算法的伪码描述：

1.42 时间复杂度分析

设输入规模为n，，每轮淘汰后，芯片数至少减半，测试次数（含轮空处理）：O(n)

时间复杂度：

W(n) = W(n/2) + O(n)
W(3)=1,W(2)=W(1)=0

解上述方程的得：W(n) = O(n)

结果很振奋人心，你已经将一个$O(n^2)$级别的算法优化为了$O(n)$级别!!!

2. 总结

最大的需要注意的地方就是：如何保证子问题与原问题性质相同:

可以：

1. 增加额外处理（比如上述n为奇数时对轮空数据的处理）
2. 额外处理的工作量，不改变函数的阶