主席树讲解

以下转自http://prominences.weebly.com/1/post/2013/02/1.html

可持久化线段树，也叫作函数式线段树，也就是主席树，（。。。因为先驱就是fotile主席。。Orz。。。）
网上的教程很少啊，有的教程写得特别简单，4行中文，然后就是一篇代码～～
这里，我将从查找区间第k小值（不带修改）题的可持久化线段树做法中，讲一讲主席树。
/*只是略懂，若有错误，还请多多包涵！*/
可持久化数据结构(Persistent data structure)就是利用函数式编程的思想使其支持询问历史版本、同时充分利用它们之间的共同数据来减少时间和空间消耗。/*找不到比较科学的定义，就拿这个凑凑数吧～～～*/
这个数据结构很坑啊，我研究了一整天才差不多理解了一些（。。太笨了。。。）。所以，要理解好每一个域或变量的意义。
开讲！
一些数据结构，比如线段树或平衡树，他们一般是要么维护每个元素在原序列中的排列顺序，要么是维护每个元素的大小顺序，若是像二者兼得。。（反正我是觉得很。。）那么，这道题就想想主席树吧～/*还可以用划分树做*/
开讲！～好像说过一边了
既然叫“函数式线段树”，那么就应该有跟普通线段树相同的地方。一颗线段树，只能维护一段区间里的元素。但是，每个询问的区间都不一样，若是对每段区间都单独建立的线段树，那～萎定了～。因此，就要想，如何在少建，或建得快的情况下，能利用一些方法，得出某个区间里的情况。
比如一棵线段树，记为tree[i][j]，表示区间[i,j]的线段树。那么，要得到它的情况，可以利用另外两棵树，tree[1][i-1]和tree[1][j]，得出来。也就是说，可以由建树的一系列历史版本推出。
那么，怎么创建这些树呢？
首先，离散化数据。因为如果数据太大的话，线段树会爆～～
在所有树中，是按照当前区间元素的离散值（也就是用大小排序）储存的，在每个节点，存的是这个区间每个元素出现的次数之和（data域）。出现的次数，也就是存了多少数进来（建树时，是一个数一个数地存进来的）。
先建议棵线段树，所有的节点data域为0。再一个节点一个节点地添加。把每个数按照自己的离散值，放到树中合适的位置，然后data域+1，回溯的时候也要+1。当然，不能放到那棵空树中，要重新建树。第i棵树存的是区间（原序列）[1,i]。但是，如果是这样，那么会MLE+TLE。因此，要充分利用历史版本。用两个指针，分指当前空树和前一棵树。因为每棵树的结构是一样的，只是里面的data域不同，但是两棵相邻的树，只有一数只差，因此，如果元素要进左子树的话，右子树就会跟上个树这个区间的右子树是完全一样的，因此，可以直接将本树本节点的右子树指针接到上棵树当前节点的右儿子，这样即省时间，又省空间。
每添加一个节点（也就是新建一棵树）的复杂度是O(logn)，因此，这一步的复杂度是O(nlogn)。
建完之后，要怎么查找呢？
跟一般的，在整棵树中找第k个数是一样的。如果一个节点的左权值（左子树上点的数量之和）大于k，那么就到左子树查找，否则到右子树查找。其实主席树是一样的。对于任意两棵树（分别存区间[1,i]和区间[1,j] i<j），在同一节点上（两节点所表示的区间相同），data域之差表示的是，原序列区间[i,j]在当前节点所表示的区间里，出现多少次（有多少数的大小是在这个区间里的）。同理，对于同一节点，如果在两棵树中，它们的左权值之差大于等于k，那么要求的数就在左孩子，否则在右孩子。当定位到叶子节点时，就可以输出了。

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鄙人的一些理解：所谓主席树呢，就是对原来的数列[1..n]的每一个前缀[1..i]（1≤i≤n）建立一棵线段树，线段树的每一个节点存某个前缀[1..i]中属于区间[L..R]的数一共有多少个（比如根节点是[1..n]，一共i个数，sum[root] = i；根节点的左儿子是[1..(L+R)/2]，若不大于(L+R)/2的数有x个，那么sum[root.left] = x）。若要查找[i..j]中第k大数时，设某结点x，那么x.sum[j] - x.sum[i - 1]就是[i..j]中在结点x内的数字总数。而对每一个前缀都建一棵树，会MLE，观察到每个[1..i]和[1..i-1]只有一条路是不一样的，那么其他的结点只要用回前一棵树的结点即可，时空复杂度为O(nlogn)。

 

代码（最原始的树所有结点的值都为0，就算建好一棵树了……）：