5.1 投资资产与消费资产
投资资产：有足够多的投资者持有它的唯一目的就是为了投资。
例如，黄金，白银，股票，证券（金融类）
消费资产：持有资产的主要目的是为了消费。
例如，铜，原油，猪肉（商品类）
对于投资类资产，我们可以从无套利假设出发，由即期价格与其他市场变量得出远期价格和期货价格。
而对于消费资产无法做到这点。因为他有使用价值，一般情况现货价格会高于期货价格。
5.4 投资资产的远期价格
可以利用无风险利率来计算远期合约的价格。
5.4.1 不提供中间收入的合约
下面以一个简单的例子来说明定价的原理。
考虑一个 3 个月期无股息股票的远期合约。假设股票当前价格为 40 美元，3 个月期无风险利率为每年 5% （连续复利）。
则可以先得到 3 个月无风险投资的收益为 40 * e^(0.25 * 0.05) = 40.50
| 远期价格 | 现在的交易 | 三个月后的交易 |
|---|---|---|
| 43美元 | 以 5% 利率借入 40 美元买入股票，并进入远期合约空头 | 以43 美元价格卖出股票，偿还利息40.5美元，无风险收益2.5美元 |
| 39美元 | 卖空一只股票，将40美元收益以 5% 利率投资三个月。进入远期合约的多头 | 获得 40.5 美元投资收益，以39美元买入股票对卖空交易平仓，无风险收益1.5美元 |
因此，为了保证无套利机会，远期价格必须为 40.5 美元。
假设 T 为期限，r 为无风险利率（连续复利），K 为远期价格，则可通过以下公式计算：
K = S * e^(r * T)
5.4.2 提供已知中间收入的资产
考虑某个债券，当前价格为900美元，假定远期合约期限为9个月，在4个月后有 40 美元的券息付款，并假定 4 个月期及 9 个月期的利率分别是 3% 和 4%。
- 借入 900 美元，买入债券
具体借款额度，可以根据 2. 得到 - 在 4 个月收到 40 美元券息付款，用于偿还债务
贴现得到40 * e^(- 4/12 * 0.03) = 39.6，故可偿还 39.6，期限为 4 个月，利率为 3% 的债务。因此当初借款时最优方案为借 39.6 美元 4个月期，860.4 美元 9 个月期。 - 在 9 个月时卖出债券并还款。
还需还款860.4 * e^(9/12 * 0.04) = 886.60。
因此只要该远期合约定价不等于 886.60，都存在套现机会。若低于 886.60，可以卖空套利。
假设 T 为期限，r 为无风险利率（连续复利），I 为折现后总的中间收入，则远期价格 K 可通过以下公式计算：
K = (S - I) * e^(r * T)
商品期货可以看作此类情形，由于商品期货存在存储费用等花销，可以认为是 I 为负的情况。
例如，假定黄金的即期价格为 450 美元，存储费用为 2 美元，年末支付。则一年期黄金的远期价格为：
(450 + 2*e^(-0.07)) * e^0.07 = 484.63
5.4.3 收益率为已知的情形
该结果类似于 5.4.1，假设收益率 q 也是以连续复利形式给出，T 为期限，r 为无风险利率（连续复利），则远期价格 K 可通过以下公式计算：
K = S * e^((r - q) * T)
直观上非常好理解，因为收益率与无风险利率都是以连续复利形式计算的，两者其实作用是一样的。
复杂点说，假设我们在 0 时刻以利率 r 借入 S 买入资产，同时进入远期空头，卖出价格为 K。
此外，我们将收益立刻用于还款，以降低利息支出。由于两者都是连续复利，可以认为我们实际借款利率变成了 r-q。因此，利用 5.4.1 结论，我们有：
K = S * e^((r - q) * T)
股指期货价格就是利用该公式确定的，因为它具有固定的股息收益。
例1
一家银行向客户提供两种选择：一种是按 11% 利率（每年复利 1 次）借入现金，另一种是以 2% 利率（每年复利 1 次）借入黄金（当借入黄金时，必须以黄金形式支付本息）。无风险利率是 9.25%，贮存费用为每年 0.5%，均是连续复利。讨论哪种方案利率更高？
假设该借款人直接将黄金卖出，并进入远期多头。
贮存费用可以看作是固定的负的收益率。因此可以算出一年后黄金的远期价格为（假设当前黄金价格为 S）：
S * e^(0.0925 - (-0.005)) = 1.1024S
此外，还需额外支付 2% 的黄金利息，即最后需要还 102%。则利率为 1.02 * 1.1024 - 1 = 0.112446。显然大于现金的 0.11。
5.7 远期合约的定价
远期合约的价值为：
f = (F - K) * e^(-r * T)
该式的意义是显然的，即对未来可能收入的资金的最好估计为 F-K，将其以无风险收益率 r 贴现至现在的价值即为远期合约的价值。
在刚刚进入远期合约时，其价值为 0。这是显然的，因为交割价格 K 等于当时的远期价格 F，否则交易双方无法达成一致。由于远期价格 F 会变动，而交割价格 K 维持不变， 所以上式会波动。
以一道例题说明。
例1
股票预计在 2 个月和 5 个月时支付 1 美元股息。股票当前价格为 50 美元，对应所有期限的连续复利无风险利率为 8%。某投资者刚刚进入了 6 个月期限的远期合约空头。
(a) 远期价格与远期合约的初始价值为多少？
(b) 在 3 个月后，股票价格变为 48 美元，无风险利率仍为每年 8%，这时远期价格和远期合约空头价值为多少？
(a)
远期价格套用公式即可：
(50 - e^(0.08*2/12) - e^(0.08*5/12)) * e^(0.08*6/12) = 50.01
远期合约多头、空头初始价值为 0。
(b)
这里注意不能直接套用公式 f = (F - K) * e^(-r * T)，因为 F 是需要计算的，不能直接用 (a) 中的远期价格。
重新计算 3 个月后的远期价格：
(50 - e^(0.08*2/12)) * e^(0.08*3/12) = 47.96
然后再带入公式计算合约价值：
(50.01 - 47.96) * e^(-0.08*3/12) = 2.01
5.10 货币的远期和期货合约
以两个例题说明。
例1
假设澳元和美元 2 年期无风险利率分别为 5% 和 7%。且澳元对美元汇率为 1 : 0.62。则 2 年期的远期汇率应该为多少？
由于美元利率较高，我们假设将澳元兑换为美元获取收益，再通过2年远期合约换回澳元，若期望无套利机会，则应该有：
x * e^(0.05 * 2) = 0.62 * e^(0.07 * 2)
即在澳洲收益（在未来换算成美元）等于立即兑换为美元后收益。
解得 x = 0.62 * e^0.04 = 0.6453，否则可以通过上述方式套利。
例2
一家美国公司想通过期货合约来对冲澳元的风险敞口。假定美国和澳洲的无风险利率分别为 r1 和 r2，公司利用 T 时刻到期的合约来对冲时间 t 的风险敞口。则最佳对冲比率为多少？
该题与第三章结合起来了。首先计算在 t 时刻的现货和期货价格关系。若要保证无套利机会，则从 t 至 T 期间，有以下关系（澳洲收益=美国收益）：
F * e^(r2 * (T-t)) = S * e^(r1 * (T-t))
可以得出
F = S * e^((r1 - r2)(T-t))
而最佳对冲比率计算方法为：
最小方差对冲比率 = 相关系数 * (即期价格变化标准差 / 期货价格变化标准差)
相关系数显然为1，标准差之比与 S/F 相同，故最佳对冲比率为 e^((r2 - r1)(T-t))